上海市延安中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质检测数学试卷.docxVIP

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上海市延安中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质检测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若不等式的解集为，则a的取值集合为

2．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是．

3．已知集合，，则

4．已知，，用表示为．

5．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为.

6．若不等式的解集为，则实数的取值范围是.

7．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是

8．关于的不等式的解集是，则的解集是

9．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是

10．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是

11．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为

12．设，若时，均有成立，则实数的取值集合为

二、单选题

13．下列表示错误的是（????）

A． B．

C．= D．若则

14．“”是“不等式与同解”的（????）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

15．设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

16．对任意实数给出下列命题：

①“”是“”的充要条件；????

②若，则；

③“”是“”的充分条件；????

④若，则；

⑤若，则.

其中真命题的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题

17．已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求：m的值及其对应a的取值范围．

18．设关于的不等式的解集为M．

(1)求M；

(2)若且，求实数a的取值范围．

19．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；

（2）求函数的最小值．

20．2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.

(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?

(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.

21．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．

(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；

(2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；

(3)若为正整数，求：“完美集”.

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

C

D

D

B

1．

【分析】根据一次不等式的解决求参数即可.

【详解】若不等式的解集为，则，所以，

故a的取值集合.

故答案为：.

2．存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.

【分析】从命题的否定入手可解.

【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.

【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.

3．

【分析】由已知，先求得，再计算集合的交集即可.

【详解】因为，，

所以，

则.

故答案为：.

4．

【分析】根据对数的运算性质