安徽省六校教育研究会2025届高三上学期9月入学考试 数学 Word版含解析.docx

安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试

数学试题

2024.9

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一?单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.设复数满足，则（）

A.B.

C.D.

3.设公差的等差数列中，成等比数列，则（）

A.B.C.D.

4.已知，则（）

A.B.C.D.

5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（）

A.B.C.D.

6.已知函数，若，则的大小关系为（）

A.B.

C.D.

7.若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

8.已知函数的定义域为，且为奇函数，且，则（）

A.-11B.C.D.0

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若随机变量且，则下列选项正确的是（）

A.

B.的最小值为50

C.

D.若，则

10.1694年瑞士数学家雅各布?伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（）

A.双纽线的方程为

B.

C.双纽线上满足的点有2个

D.的最大值为

11.已知函数，则下列说法正确的是（）

A.函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点

B.函数的图像与函数的图像没有公切线

C.函数，则有极大值，且极大值点

D.当时，恒成立

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.平面四边形中，，则__________.

13.倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为__________.

14.我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有__________种.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（13分）在中，角的对边分别为.

（1）求角；

（2）若的面积，若，且，求的周长.

16.（15分）如图，在三棱台中，上?下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.

（1）证明：平面；

（2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积.

17.（15分）已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.

18.（17分）已知函数.

（1）当时，求证：函数有唯一极值点；

（2）当时，求在区间上的零点个数；

（3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值.

19.（17分）若数列满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.

（1）设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列.若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.

（2）试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.

（3）若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.

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