北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 函数 4.2 简单幂函数的图象和性质.pptVIP

;基础落实·必备知识一遍过;课程标准;;知识点1幂函数的定义

一般地,形如(α为常数)的函数,即是自变量、

是常数的函数称为幂函数.?

名师点睛

1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数就不是幂函数.

2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=8x2都是幂函数.()

(2)一元二次函数都是幂函数.()

2.在函数①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为.(填序号)?;知识点2幂函数的图象和性质

1.常见的五种幂函数的图象;2.幂函数的性质;名师点睛

幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:

(1)当α0时,图象都经过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.

(2)当α0时,图象都经过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.;思考辨析

通过对5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).()

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.();2.如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±

四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的解析式中n的值依次为()

;3.3.17-1与3.71-1的大小关系为.?;4.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),试求出此函数的解析式,并画出图象,判断奇偶性、单调性.;;探究点一幂函数的概念;规律方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.;变式训练1如果幂函数的图象不过原点,求实数m的值.;探究点二幂函数的图象;解析函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数,选项A,直线对应函数为y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为

选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3或y=x2.故选C.;规律方法对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:

(1)恒过点(1,1).

(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越

大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).

(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或,y=x3)来判断.

(4)当α0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递减.;变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()

A.nm0

B.mn0

C.nm0

D.mn0;解析画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A.;探究点三利用幂函数的单调性比较大小;规律方法1.比较幂的大小的三种常用方法;探究点四幂函数图象的应用;在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:

(1)当x1或x-1时,f(x)g(x);

(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);

(3)当-1x1且x≠0时,f(x)g(x).;变式训练3[2024湖南常德高一期末]已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数h(x)=2f(x)-kx-1在[-1,1]上具有单调性,求实数k的取值范围.;本节要点归纳;;1;1;1;1;1;1;