北师版高中数学必修第一册精品课件 第1章 预备知识 4.1 一元二次函数.ppt

4.1一元二次函数

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一、配方法与一元二次函数【问题思考】1.y=4x2-4x-1如何配方?你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗?

3.若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则实数m的值为().A.-3 B.3 C.-2 D.2答案:D

二、一元二次函数图象的变换【问题思考】1.y=2x2和y=2(x+1)2+3的图象之间有什么关系?提示:由y=2x2的图象经过向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可以得到函数y=2(x+1)2+3的图象.2.一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线,可以由y=ax2(a≠0)的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.

3.将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到的新图象对应的函数解析式是().A.y=x2 B.y=2x2+2C.y=4x2 D.y=2x2-2解析:将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到的新图象对应的函数解析式为y=4x2.答案:C

三、一元二次函数解析式的三种形式【问题思考】1.我们知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么点(1,-1),数0,2与y=x2-2x有什么关系?提示:点(1,-1)是函数y=x2-2x的图象的顶点,0和2是函数y=x2-2x的图象与x轴的交点的横坐标.

2.(1)一元二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)如果已知一元二次函数图像的顶点坐标为(-h,k),则可将一元二次函数设为y=a(x+h)2+k(a≠0).(3)如果已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2(即抛物线与x轴交点的横坐标),可设一元二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

3.一元二次函数图象的顶点坐标是(2,3),且图象经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式为.?解析:设y=a(x-2)2+3,则当x=3时,有a(3-2)2+3=a+3=1,解得a=-2,所以y=-2(x-2)2+3.答案:y=-2(x-2)2+3

四、一元二次函数的性质【问题思考】1.

2.已知函数y=x2+2(2a-1)x+2,在区间(-∞,7]上,函数值y随自变量x的增大而减小,则实数a的取值范围是().A.(-∞,-3) B.(-3,+∞)C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上的函数值y随自变量x的增大而减小,得-(2a-1)≥7,所以a≤-3.答案:C

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一求一元二次函数的解析式【例1】已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值为8,求一元二次函数的解析式.

解法2:利用一元二次函数的两根式.由已知得y+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设一元二次函数的解析式为y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).解得a=-4.故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.

求一元二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活选取解析式的最佳形式,利用待定系数法求解.当已知抛物线上任意三点时,设一般式;已知抛物线的顶点坐标常设顶点式;已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式.

探究二一元二次函数的图象【例2】(1)抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的().A.先向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度B.先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度C.先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度D.先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度

(2)(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图,则下列结论正确的是().A.b24ac B.2a-b=1C.a-b+c=0 D.3ab

解析:(1)因为抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),所以抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到.(2)由题意可知,函数图象与x轴交于两点,所以b2-4ac0,即b24ac,A正确;因为图象的对称轴为直线x=-1,所以=-1,所以2a-b=0,B错误;由题中图象可知,当x=-1时,y0,故有a-b+c0,C错误;由b=2a,且图象开口向下,a0