2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_1空间向量与立体几何12类选填小题专练教师版.docVIP

专题1-1空间向量与立体几何12类选填小题专练

知识点梳理

一、空间向量的基本定理

1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.

2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

二、共面向量

1．共线向量与共面向量的区别

共线(平行)向量

共面向量

定义

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

2．直线l的方向向量

如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则?λ∈R使得＝λa.

定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

3．解决向量共面的策略

(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(―→))＝xeq\o(AB,\s\up7(―→))＋yeq\o(AC,\s\up7(―→))或eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→))

(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．

4．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论

(1)eq\o(MP,\s\up7(―→))＝xeq\o(MA,\s\up7(―→))＋yeq\o(MB,\s\up7(―→))；

(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝eq\o(OM,\s\up7(―→))＋xeq\o(MA,\s\up7(―→))＋yeq\o(MB,\s\up7(―→))；

(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OM,\s\up7(―→))(x＋y＋z＝1)；

(4)eq\o(PM,\s\up7(―→))∥eq\o(AB,\s\up7(―→))(或eq\o(PA,\s\up7(―→))∥eq\o(MB,\s\up7(―→))或eq\o(PB,\s\up7(―→))∥eq\o(AM,\s\up7(―→)))．

三、投影向量

(1)向量a在向量b上的投影

先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．

(2)向量a在直线l上的投影

如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．

(3)向量a在平面β上的投影

如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，

则向量eq\o(A′B′,\s\up7(――→))(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．

四、夹角问题

1.两异面直线所成的角

设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).

注意：两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．

2.直线和平面所成的角

设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，

则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).

注意：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．

(2)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．

3.两个平面的夹角

（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？

区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

（2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？

提示两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．

设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，

则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f