特级教师改编初中几何模型专题12 斜截模型解直角三角形（教师版）.pdfVIP

专题12斜截模型解直角三角形

【精典例题】

1、如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.

求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732)

解析：延长CD，交AE于点E，则DE⊥AE，得矩形ABCE.

在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°，

∴ED＝AE·tan45°＝40m.

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m，

∴AB＝403m.

则CD＝EC－ED＝AB－ED＝403－40≈29.3(m)．

答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m.

2、为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小

明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰

角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上)．然后，小明沿坡度i＝1∶

1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．

(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，2≈1.41，

3≈1.73)．

解析：(1)过点F作FG⊥EC于点G，

依题意，知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°.

∴四边形DEGF是矩形．

∴FG＝DE.

3

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30°＝2.

3

∴点F到直线CE的距离为2米．

(2)∵斜坡CF的坡度i＝1∶1.5.

∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝23×1.5＝33.

3

∴FD＝EG＝CG＋CE＝3＋6.

3

在Rt△BCE中，BE＝CE·tan60°＝6.

在Rt△AFD中，AD＝DF·tan45°＝33＋6.

∴AB＝AD＋DE－BE＝33＋6＋23－63＝6－3≈4.3.

答：宣传牌的高度AB约为4.3米．

3、如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测

量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角

为26.6°．已知塔高BC40米，塔所在的山高OB240米，OA300米，图中的点O、B、C、A、P在同一

平面内．

求：

（1）P到OC的距离．

（2）山坡的坡度tanα．

（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）

[来

解析：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；

在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝31°，∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan31°；

∵CD﹣BD＝BC，∴PD•tan31°﹣PD•tan26.6°＝40，∴0.60PD﹣0.50PD＝40，解得PD＝400（米），

∴P到OC的距离为400米；

（2）在Rt△PBD中，BD＝PD•tan26.6°≈400×0.50＝200（米），

∵OB＝240米，∴PE＝OD＝OB﹣BD＝40米，

∵OE＝PD＝400米，∴AE＝OE﹣OA＝400﹣300＝100（米），

∴tanα＝＝＝0.4，∴坡度为0.4．

4、如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，

他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝5m，坡底EA＝30m，

然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑