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河北省保定市曲阳县第一中学2024-2025学年高三一诊考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
3.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为()
A. B. C.8 D.6
4.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()
A.或 B.或 C.或 D.或
5.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()
A. B. C. D.
6.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()
A. B. C. D.
7.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()
A.的值域是 B.是奇函数
C.是周期函数 D.是增函数
8.集合的真子集的个数为()
A.7 B.8 C.31 D.32
9.在钝角中,角所对的边分别为,为钝角,若,则的最大值为()
A. B. C.1 D.
10.展开项中的常数项为
A.1 B.11 C.-19 D.51
11.已知数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和,则数列的前2020项和为()
A. B. C. D.
12.已知(i为虚数单位,),则ab等于()
A.2 B.-2 C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知关于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集为A,且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_____.
14.已知,,,,则______.
15.已知实数,满足则的取值范围是______.
16.如图,在一个倒置的高为2的圆锥形容器中,装有深度为的水,再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平,则的值为____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求二面角的余弦值大小.
18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求直线和圆的普通方程;
(2)已知直线上一点,若直线与圆交于不同两点,求的取值范围.
19.(12分)已知函数,其导函数为,
(1)若,求不等式的解集;
(2)证明:对任意的,恒有.
20.(12分)已知均为正实数,函数的最小值为.证明:
(1);
(2).
21.(12分)某工厂生产一种产品的标准长度为,只要误差的绝对值不超过就认为合格,工厂质检部抽检了某批次产品1000件,检测其长度,绘制条形统计图如图:
(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望;
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取2件,假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时,该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值.
22.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.
(Ⅰ)求sinB的值;
(Ⅱ)求sin(2B+)的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率.
【详解】
由题意可知,代入得:,
代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,
故选:D.
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.
2.D
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