北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 2.2 函数的表示法.ppt

2.2函数的表示法

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析

自主预习·新知导学

一、函数的表示法【问题思考】1.某种签字笔的价格为每支6元,购买的支数为x,所花费用为y,则购买签字笔的支数x与所花费用y之间存在怎样的函数关系?y与x的关系能否用一个式子表示?提示:正比例函数关系,能用一个式子表示,即y=6x(x∈N).

2.下表反映的是变量y与变量x的关系.x50100200300500y0.6780.3980.1210.050.01请根据上表回答下面的问题.(1)表格中两变量存在函数关系吗?(2)自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么?提示:(1)存在.(2)自变量的取值集合为{50,100,200,300,500},值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}.

3.如图是某一指标随年份变化的曲线,根据图象回答下面的问题.(1)图中的曲线能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能,自变量是什么?(2)图中的函数关系能用解析式表示吗?提示:(1)能,其中年份为自变量.(2)不能.

4.下表函数的表示法解析法列表法图象法优点简明、全面地概括了变量间的关系,并且利用解析式可求任一函数值,便于研究函数性质不需计算可以直接看出与自变量的值相应的函数值能够形象直观地表示函数的变化情况缺点不够形象、直观,而且并不是所有函数都有解析式仅能表示有限个数值之间的函数关系,自变量有无限多个数就只能给出局部的对应关系,且很难看出函数性质有时只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大

5.(1)函数f(x)的图象如图,则f(x)的定义域为.(2)若反比例函数f(x)满足f(3)=-6,则f(x)的解析式为.

合作探究·释疑解惑探究一探究二

探究一画函数的图象【例1】画出下列函数的图象.(1)y=x+1(x∈Z);(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).

解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,如图(1)所示.(2)因为0≤x3,所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x在区间[0,3)上的部分,如图(2)所示.(1)(2)

1.画函数图象主要有三步:列表、描点、连线.画图象时一般应先确定函数的定义域,然后在定义域内化简函数解析式,最后列表、描点画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,一元二次函数图象的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心图.

探究二求函数的解析式【例2】若一元二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=0的一个根为x=1,求函数f(x)的解析式.分析:由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为x=1建立关于b,c的关系式求解.解:由f(2)=f(-2),得22+2b+c=(-2)2-2b+c,得b=0.①又f(x)=0的一个根为x=1,即x2+bx+c=0的一个根为x=1,则b+c+1=0.②由①②得b=0,c=-1.所以f(x)=x2-1.

1.本例中若将条件“f(2)=f(-2)”改为“f(0)=2”,求f(x)的解析式.解:由f(0)=2,得c=2.又f(x)=0的一个根为1,即x2+bx+c=0的一个根为1,则b+c+1=0,所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2.2.本例条件不变,求f(x+1)的解析式.解:由例3的求解知,f(x)=x2-1,故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.

3.已知f(x+1)=x2-1,求f(x)的解析式.解法1:设t=x+1,则x=t-1,因为f(x+1)=x2-1,所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.解法2:因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),所以f(x)=x2-2x,即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.

求函数的解析式的方法

(1)如果已知函数类型,可以用待定系数法.

(2)如果已知f(g(x))的解析式,想求f(x)的解析式,可以设t=g(x),然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式.(3)如果条件是一个关于f(x),f(-x)的方程,我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成-x,其目的是再得到一个关于f(x),f(-x)的方程,然后用消元法消去f(-x),即可求得f(x).

易错辨析

因忽视新元的范围致误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

利用换元法或配凑的形式求解析式,要注意新元的范围.