湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学（解析版）.docx

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永州市2024年高考第三次模拟考试

数学试卷

注意事项：

1.本试卷共150分，考试时量120分钟.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

3.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小圆给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合，再根据集合的交集定义求解即可.

【详解】因为，

，

所以.

故选：A

2.样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（）

A.14 B.15 C.16 D.18

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，

则上四分位数即第百分位数为，即为.

故选：D

3.已知非零数列满足，则（）

A.8 B.16 C.32 D.64

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得，再由等比数列的定义即可得到结果.

【详解】由可得，则.

故选：D

4.的展开式中第四项的系数为540，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式的展开式的通项公式可得，求得，再根据余弦的二倍角公式，结合齐次弦化切即可求解.

【详解】因为的展开式中第四项为，

所以，解得，

所以.

故选：C

5.为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（）

A.26 B.25 C.24 D.23

【答案】C

【解析】

【分析】用插板法求得将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份的分法总数，再减去甲、乙两人分得的份数相同的分法总数，即可求解.

【详解】将9份一样永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法，

而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，

所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种.

故选：C

6.在中，，，，，则的最小值为（）

A B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求.

【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，由，可得是以为直径的圆，

所以的轨迹方程为，

取的中点为，设，

可得，所以，所以，

所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为，

由，所以，所以，

所以，

所以.

故选：A.

7.已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可.

【详解】，

在上单调递增.

令，在上单调递增，

因为，所以为奇函数，

则化为

所以，解得，

.

故选：C

8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解.

【详解】

如图,,,，

设,则，

平分,

,,

由双曲线定义可知，

，即,

在中，由余弦定理知

化简得,由得,

不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则,.

故选：B

【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量，若，则

B.设，，则“”成立的充要条件是“”

C.已知，，则

D.若，，，则事件与相互独立

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态分布性质判断A；当，时，可验证B错误；由条件概率公式判断C；由相互独立定义验证D.

【详解】对于A，随机变量服从正态分布，且对称轴为，

因为，所以，

故，故A正确；

对于B，当时，，当时，，

此时成立，但