特级教师改编初中几何模型专题16 费马点中三线段模型与最值问题（教师版）.pdfVIP

专题4费马点中三线段模型与最值问题

【专题说明】

费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三

条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最

短求解问题

【模型展示】

问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、

作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．

（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）

（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB∠BPC∠CPA120°．

在图三的模型里有结论：（1）∠BPD60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．

有这两个结论便足以说明∠PAB∠BPC∠CPA120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必

曾相识！

【例题】

、如图，四边形是菱形，，且∠∠，为对角线（不含点）上任意一点，

1ABCDAB4ABCABE60°GBDB

将△绕点逆时针旋转得到△，当取最小值时的长（）

ABGB60°EBFAG+BG+CGEF

33233343

A．B．C．D．

2333

【解析】如图，

∵将△绕点逆时针旋转得到△，

ABGB60°EBF

∴，，，

BEABBCBFBGEFAG

∴△BFG是等边三角形．∴BFBGFG，．

∴．根据两点之间线段最短，

AG+BG+CGFE+GF+CG“”

∴当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，

GBDCEAG+BG+CGEC

过点作⊥交的延长线于，

EEFBCCBF

∴∠EBF180°-120°60°，

∵BC4，∴BF2，EF23，在Rt△EFC中，

222

∵EF+FCEC，∴EC43．

∵∠CBE120°，∴∠BEF30°，

∵∠EBF∠ABG30°，∴EFBFFG，

143

∴EFCE，

33

故选：．

D

、如图，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：

2ABCA60°ADEDEBCPPAPCPE

问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到