第二章矩阵及其运算.ppt

一、矩阵的概念（matrix）例1通路矩阵例2某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵.2.矩阵相等二、矩阵的线性运算1.矩阵的加法2.数与矩阵相乘1.矩阵的加法（2）矩阵减法:（3）加法运算律例32.数与矩阵相乘数与矩阵A的乘积记作或，规定为运算规律：解:三、矩阵乘法运算例5例6设矩阵解：2.矩阵的乘法运算律(假设运算都是可行的)四、矩阵的转置1.定义:把m×n矩阵A的行列互换得到一个n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT.2.运算规律（假设运算都是可行的）解法1解法2五、矩阵的共轭一、子块、分块矩阵4.转置2.矩阵的按行分块与按列分块作业：P54-552,§2.3逆矩阵一、逆矩阵概念1.A是可逆的矩阵存在一个方阵B，使得AB=BA=E则方阵B称为A的逆矩阵（简称逆阵）.记为A-1(1)这时矩阵B也可逆,B的逆阵为A.即B-1=A.(3)可逆矩阵也称为非退化阵,或非奇异阵;不可逆矩阵称为退化阵,或奇异阵.(2)若方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的.（前提：A是方阵）注：例12.可逆的充分必要条件证明：→求逆矩阵的一个方法例2利用伴随矩阵求逆矩阵解：由知A的逆矩阵A-1存在.再由得注：矩阵方程求解:线性变换求逆变换:例3已知求矩阵X满足AX=C.解：由得X=A-1C，即知A的逆矩阵A-1存在.所以例3已知例3已知例4已知解：由例4已知解：由例4已知解：由例4已知注：本推论的意义是，当要验证时，只需验证AB=E与BA=E二者中之一即可。二、逆矩阵满足下列运算规律：设，求解：例5及作业：P55-5614,15§2.4矩阵的分块法将矩阵A用若干条横线和纵线分成许多个小矩阵（称为A的子块），以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.→分块矩阵→分块矩阵↑分块矩阵↓例1二、分块矩阵的运算例如：3.乘法特点：大转+小转*Ch2矩阵及其运算Ch2矩阵及其运算矩阵及其运算逆矩阵矩阵分块法1.或简记为§2.1,§2.2其中：注：矩阵一般用大写字母A，B，…表示。称为矩阵A的维（或型）。矩阵C中行表示A省的城市列表示B省的城市○○○○○每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示通路情况(称之为通路矩阵).41322解：商店1商店2商店3品1品1品1品1设有两个m×n矩阵则称矩阵A和B相等.记作A=B矩阵相等必须:行数、列数分别相等且元素对应相等。若只是行数、列数分别相等，则称A,B是同型矩阵。称为矩阵A与B的和.记作设有两个m×n矩阵注：只有同型的两个矩阵才能相加.（1）加法：称为A的负矩阵称为m×n零矩阵则矩阵的减法为(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)(iii)A+O=O+A=A其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵.解：其中A、B为m×n矩阵；λ,μ为数.(ⅰ)(λμ)A=λ(μA);(ⅱ)(λ+μ)A=λA+μA(ⅲ)λ(A+B)=λA+λB例4设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×n矩阵,1.A与B的乘积:记为AB，即C=AB.规定A与B的积为一个m×n矩阵C=(cij)，其中AB=ABm×ss×nm×n注(1)只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.(2)乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.解：计算AO，AB,BA.AO=O；(2)与数的乘法不同,两个非零矩阵的乘积可能是零阵，反过来，如果两个矩阵的乘积是零阵，不能断定A或B一定是零矩阵.(1)一般地，矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA.当AB=BA时,称A,B可交换.注(i)(AB)C=A(BC);(ii)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(iii)k(AB)=(kA)B=