北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第6章 数列 第3节 等比数列.ppt

第三节等比数列第六章

内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破

课标解读衍生考点核心素养1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.3.理解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的基本运算2.等比数列的判定与证明3.等比数列的性质及应用1.数学抽象2.逻辑推理3.数学运算

强基础固本增分

1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).?(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab.微点拨若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,….第2项同一

微思考1任意两个实数都有等比中项吗?微思考2“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?提示:不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个.提示:必要不充分条件.当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.

2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=(a1≠0,q≠0).?(2)通项公式的推广:an=amqn-m.a1qn-1

微点拨1.已知{an}为等比数列,公比为q,当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递增数列;当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q=-1时,{an}是摆动数列.2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.

常用结论设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则apar=,其中m,n,p,q,s,r∈N+.(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm(k,m∈N+).

(8)当公比q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.

研考点精准突破

考点一等比数列的基本运算例1(1)(2022全国乙,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14 B.12 C.6 D.3(2)(2022安徽马鞍山三模)在等比数列{an}中,已知a1+a4=9,a2+a5=18,则S5=()A.31 B.32 C.63 D.127(3)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,a3=4,a2+a4=10,则S5=.?

答案:(1)D(2)A(3)31

规律方法等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和

对点训练1(1)(2022河南郑州一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S6=27,则公比q等于()A.5 B.4 C.3 D.2(2)(2022江苏海安期末)设数列{an}为等比数列,若a2+a3+a4=2,a3+a4+a5=4,则数列{an}的前6项和为()A.18 B.16C.9 D.7

答案:(1)D(2)C

考点二等比数列的判定与证明例2已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=6,Sn=an+1+1.(1)证明:数列{Sn-1}为等比数列;

(2)解:由(1)知,Sn-1=(S1-1)×3n-1=3n,所以Sn=3n+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-(3n-1+1)=2×3n-1;当n=1时,a1=S1=4,不符合上式.

规律方法等比数列的判定方法

[提醒]1.前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.2.若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.

对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.

解:(1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=