北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 4.1 函数的奇偶性.ppt

4.1函数的奇偶性

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析

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一、奇函数和偶函数的定义【问题思考】试分别针对上述函数计算f(-x),并判断f(-x)与f(x)具有怎样的关系.提示:①④满足f(-x)=f(x);②⑤满足f(-x)=-f(x);③既不满足f(-x)=f(x)也不满足f(-x)=-f(x).

2.(1)一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数.(2)设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数.(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性,奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.

提示:根据奇函数的定义知,满足这两种对应关系的函数都是奇函数.4.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且有f(a)=2,则f(-a)=.?答案:-2

二、奇函数和偶函数的图象特征【问题思考】1.如图给出的函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?提示:①②关于y轴对称,③④关于原点对称.

2.(1)奇函数的图象关于原点对称,反之亦然.(2)偶函数的图象关于y轴对称,反之亦然.

3.如图给出的图象对应的函数是奇函数的是,是偶函数的是(填序号).?答案:②④①③

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究四

探究一函数奇偶性的判断

判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法

(2)图象法

探究二奇函数、偶函数的图象问题【例2】设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集为.分析:根据函数的奇偶性,画出函数在区间[-5,0]上的图象,根据图象写出不等式的解集.

解析:由题意知,函数f(x)在区间[-5,0]上的图象与在区间[0,5]上的图象关于原点对称,画出函数f(x)在区间[-5,0]上的图象,观察图象,可得f(x)0的解集为(-2,0)∪(2,5].?答案:(-2,0)∪(2,5]

1.本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小.解:由图中可知,f(1)0,f(3)0,所以f(1)f(3).又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3),故f(-1)f(-3).

2.若把本例中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求不等式f(x)0的解集.解:由于f(x)是偶函数,y轴右侧的图象已知,结合偶函数的图象关于y轴对称,画出y轴左侧的图象,如图所示.?由图象知,x∈[-5,-2)时,f(x)0;x∈(2,5]时,f(x)0,所以f(x)0的解集为[-5,-2)∪(2,5].

巧用奇偶性画函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)画出函数图象在y轴右侧(或y轴左侧)的部分.(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出y轴左侧(或y轴右侧)对应的函数图象.利用图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.

探究三利用函数的奇偶性求解析式【例3】若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式.解:当x=0时,f(0)=0,当x0时,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3.又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+2x+3,即f(x)=-x2-2x-3(x0).

1.若把本例中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求当x0时f(x)的解析式.解:当x0时,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3.因为f(x)是偶函数,所以有f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+2x+3,即当x0时,f(x)=x2+2x+3.

2.设f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2-2x+3,求f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=x2-2x+3,①用-x代替x得f(-x)+g(-x)=(-x)2-2(-x)+3,即f(x)-g(x)=x2+2x+3.②由①②得,f(x)=x2+3,g(x)=-2x.

利用函数奇偶性求函数解析式的方法(1)“求谁设谁”,即求哪个区间上的解析式,就设x在哪个区间上.(2)转化到已知函数解析式的区间上代入已知解析式.(3)利用函数的奇偶性,将f(-x)转化为-f(x)或f(x),从而得出f(x).

探究四利用函数奇偶性求参数【例4】(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b为定义在区间[a-1,2a]