添加辅助线构造全等（解析版）.docx

添加辅助线构造全等

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【题型1连接两点构造全等】 1

【题型2作平行线构造全等】 5

【题型3作垂线构造全等】 12

【题型4倍长中线构造全等】 16

【题型5截长补短构造全等】 23

【题型6补全图形构造全等】 33

【题型7旋转构造全等】 42

【题型1连接两点构造全等】

【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）D是等边三角形内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为______．

【答案】30°?

【解析】【分析】

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

【解答】

解：连接DC.?

∵等边三角形ABC，?

∴AB=BC=AC，?

∵AB=BP，?

∴BP=AB=BC，?

在△PBD和△CBD中，?

BP=BC∠1=∠BD=BD2，?

∴△PBD≌△CBD(SAS)，?

∴∠BFD=∠BCD，?

在△ACD和△BCD中，?

AC=BCCD=CDBD=AD，?

∴△ACD≌△BCD(SSS)，?

∴∠ACD=∠BCD，?

∵∠ACB=60°

故答案为30°．

【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知AB=CD，AC交BD于点O，且AC=BD.试用两种方法证明∠ABO=∠DCO．

【答案】证明：方法一：

连接BC．

?在△ABC和△DCB中，

AB=DCAC=DBBC=CB?

∴△ABC≌△DCB(SSS)，?

∴∠A=∠D?

在△AOB和△DOC中，?

∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC，?

∴△AOB≌△DOC(AAS).

证明：方法二：连接AD．

∵AB=DC，AC=DB，AD=DA，

∴△ABD≌△DCA，

∴∠ABO=∠DCO．

?

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS?ASA?AAS?SSS，全等三角形的对应边相等．

方法一：连接BC，先证明△ABC≌△DCB，然后证明△AOB≌△DOC，即可证得；

方法二：连接AD，证明△ABD≌△DCA，即可证得．

【变式1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求证：∠B=∠E．

【答案】证明：连接AC，AD，

∵AF是CD的垂直平分线，

∴AC=AD．

又AB=AE，BC=ED，

∴△ABC≌△AED(SSS)．

∴∠B=∠E．?

【解析】本题考查三角形全等判定“SSS”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一．

连接AC，AD证得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，则可得证．

【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）?如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

证明(1)BE=CF；?????????(2)若AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

【答案】(1)证明：连接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

BD=CDDE=DF，

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，

∴BE=CF；

(2)解：在△AED和△AFD中，

∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，

∴△AED≌△AFD(AAS)，

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=5，AC=3，AE=AB?BE，AF=AC+CF，

∴5?x=3+x，

解得：x=1，

∴BE=1

【解析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．

(1)连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；

(2)首先证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB?BE=AC+CF，即可得方程5?x=3+x，解方程即可求得答案．

【题型2作平行线构造全等】

【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．

（1）证明：PD＝DQ．

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．

【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△AP