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第三章理论习题参考答案

5.设X和Y是两个独立的连续对称总体，X1,X2,?,Xm与Y1,Y2,?,Yn分别是来自X和Y的简单随机样本，

（1）PR1=r1,?,Rn=rn

（2）设WY=i=1nR

解：（1）可以考虑所有对象的排列情况：

P

也可以只关注n个对象的排列：

P

（2）从小到大看，混合样本排列有两种极端，一是Y的样本全在1到n的位置，此WY=i=1nRi=nn+12，还有一种极端是Y的样本全在n+1,?,n+m的位置，此时

6.在第5题的条件下，证明：

E

先证明一个引理：设简单随机样本X1,?,Xn的

（i）ER

（ii）对于任意1≤ij≤n，都有CovR

（i）的证明：

E

E

Var

（ii）的证明：

由数学期望的定义：

E

注意到

r

故有

E

Cov

利用上述结果容易完成本题证明，细节自己完成：

E

Var

7.设有m个黑球与n个白球，除了颜色不同，其他无区别。将这m+n个球排成一排，证明：如果一排中出现2k个游程，则排列的方式有2m-1k-1n-1k-1种；如果一排中出现2k+1个游程，

证明：当出现2k个游程时，必有k个黑球游程和k个白球游程（请学生思考为什么）。为得到k个黑球游程，可以将m个黑球排成一列，在m-1个空隙中插入k-1块隔板，将m个黑球隔成k个段，有m-1k-1种隔法。类似地，有n-1k-1种隔法得到k个白球游程。要将黑球游程和白球游程组合在一起，必须将不同颜色的游程插入彼此的空隙，有两种情况：黑球游程先出现或者白球游程先出现。每种情况都只有一种组合方法，例如白球游程先出现，则黑球游程只能插入白球游程的k-1个空隙和最后一个白球游程的后面。故总共排列方式为2×

当出现2k+1个游程时，必然是k个黑球游程与k+1个白球，或者k个白球游程或者k+1个黑球游程（请学生思考为什么）。利用隔板法，有m-1k-1种方法得到k个黑球游程，有n-1k种方法得到k+1个白球游程，有m-1k种方法得到k+1个黑球游程，有n-1k-1种方法得到k个白球游程。这两种情形都只有一种方式组合起来，即k+1个游程的球插入k个游程形成的k+1个位置中（k-1

注1：出现奇数个游程时，至少为3个游程，故采用2k+1的表述。

注2：利用本题结论，可以得到游程检验原假设成立时的统计量分布：

P

8.验证Ansari-Bradley检验中的ABX=j=1mN+12-R

证明：将X，Y样本混合从小到大排列并且评秩：1,

若N为偶数，则大于N+12和小于N+12的秩各占一半，其中小于N+12的秩不变，大于N+12变为N+1-RXj；若N为奇数，则排在中间的秩为N+12，取值与其对应的AB得分相同，