苏教版函数单调性解析与教学.docx

苏教版函数单调性解析与教学

一、教学内容

本节课的教学内容来自于苏教版高中数学教材，第三章函数的单调性。具体章节内容如下：

1.函数单调性的定义及其性质；

2.利用单调性比较函数值的大小；

3.利用单调性求函数的极值；

4.函数单调性与导数的关系。

二、教学目标

1.理解函数单调性的定义，掌握单调性的性质及其应用；

2.学会利用单调性比较函数值的大小，求函数的极值；

3.理解函数单调性与导数的关系，能为解决实际问题求解函数的单调区间。

三、教学难点与重点

1.教学难点：单调性定义的理解，单调性在实际问题中的应用；

2.教学重点：函数单调性的性质，单调性与其他数学概念（如导数）的关系。

四、教具与学具准备

1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；

2.学具：教材、笔记本、尺子、圆规、橡皮擦。

五、教学过程

1.实践情景引入：讲解一个实际问题，如商品打折问题，引入函数单调性的概念；

2.概念讲解：在黑板上用粉笔写出单调性的定义，并结合实例进行解释；

3.性质讲解：利用PPT展示单调性的性质，引导学生进行思考和讨论；

4.例题讲解：讲解教材中的典型例题，让学生理解单调性的应用；

5.随堂练习：让学生独立完成教材中的随堂练习题，巩固所学知识；

7.作业布置：布置一些有关单调性的练习题，让学生课后巩固。

六、板书设计

1.单调性定义：若对于定义域内的任意两个自变量，当增大时，函数值也增大，则称函数在区间上单调递增；若对于定义域内的任意两个自变量，当增大时，函数值却减小，则称函数在区间上单调递减。

2.单调性性质：单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等于0；

3.单调性应用：利用单调性比较函数值的大小，求函数的极值。

七、作业设计

1.题目：判断下列函数在给定区间上的单调性，并说明理由。

答案：

（1）函数在区间上单调递增，因为对于定义域内的任意两个自变量，当增大时，函数值也增大；

（2）函数在区间上单调递减，因为对于定义域内的任意两个自变量，当增大时，函数值却减小；

2.题目：已知函数在区间上单调递增，求函数在该区间上的极小值。

答案：根据单调性，函数在区间上没有极小值。

八、课后反思及拓展延伸

1.课后反思：本节课通过讲解实际问题和例题，让学生掌握了函数单调性的概念和性质，并能运用单调性解决一些实际问题；

2.拓展延伸：研究函数单调性与导数的关系，探讨如何利用导数判断函数的单调性。

重点和难点解析

一、单调性定义的讲解

在教学过程中，对于单调性的定义需要进行详细的讲解。单调性是函数的重要性质之一，它描述了函数值随自变量变化的一种趋势。具体来说，单调递增函数指的是当自变量增大时，函数值也增大；而单调递减函数指的是当自变量增大时，函数值却减小。这一概念的理解是学生掌握单调性的基础，也是后续应用单调性解决实际问题的前提。

在讲解单调性定义时，可以通过举例来说明。例如，考虑函数f(x)=x，我们可以看到，当x的值从1增加到2时，对应的函数值也从1增加到2，这符合单调递增的定义。同样，对于函数f(x)=x，当x的值从1增加到2时，对应的函数值却从1减小到1，这符合单调递减的定义。通过这些具体的例子，学生可以更好地理解单调性的概念。

二、单调性性质的讲解

单调性性质是单调性理论的重要组成部分，它揭示了单调性与导数之间的关系。具体来说，单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等于0。这一性质是判断函数单调性的一个重要工具，也是导数在函数分析中的应用之一。

在讲解单调性性质时，可以通过导数的定义和性质来进行解释。导数表示函数在某一点的瞬时变化率，即函数值的变化量与自变量变化量的比值。当函数单调递增时，函数值的变化量与自变量变化量同向，因此导数大于等于0；当函数单调递减时，函数值的变化量与自变量变化量反向，因此导数小于等于0。通过这一解释，学生可以理解导数与单调性之间的关系，并能够利用导数来判断函数的单调性。

三、单调性应用的讲解

单调性在数学中有广泛的应用，尤其是在比较函数值的大小和求函数的极值等方面。在教学过程中，需要让学生了解单调性在这些方面的应用，并能够熟练运用。

单调性可以用来比较函数值的大小。如果两个函数在同一区间上单调递增或单调递减，那么可以直接通过比较自变量的值来判断函数值的大小。这一方法在解决一些实际问题时非常有用，可以避免繁琐的计算。

单调性可以用来求函数的极值。对于单调递增函数，极小值出现在区间的左端点；对于单调递减函数，极大值出现在区间的右端点。通过单调性，可以快速确定极值的位置，而不需要计算函数的导数或二阶导数。

在讲解单调性应用时，可以通过具体的例题来进行说明。例如，考虑两个函数f(x)=x^2和g(x)=x^2，我们可以通过单调性来比