特级教师改编初中几何模型专题01 截长补短模型证明问题（教师版）.pdfVIP

专题01截长补短模型证明问题

【专题说明】

截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯

穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长

就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的

线段.当条件或结论中出现a+bc时，用截长补短．

【知识总结】

1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那

一条线段相等；

2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线

段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之

与特定线段相等，再利用三角形全等有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系时常用。

如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EFAB+CD,可以考虑截长补短法

截长法：如图2，在EF上截取EGAB,在证明GFCD即可；

补短法：如图3，延长AB至H点，使BHCD,再证明AHEF即可.

【类型】一、截长

“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。

方法一：

如图2所示，在BF上截取BMDF，

易证△BMC≌△DFC（SAS），

则MCFCFG，∠BCM∠DCF，

可得△MCF为等腰直角三角形，

又可证∠CFE45°，∠CFG90°，

∠CFG∠MCF，FG∥CM，

可得四边形CGFM为平行四边形，则CGMF，

于是BFBM+MFDF+CG.

图2

方法二：

如图2所示，在BF上截取FMGC

可证四边形GCFM为平行四边形

可得CMFGCF

可得∠BFC∠BDC45°，得∠MCF90°

又得∠BMC∠DFC135°

于是△BMC≌△DFC（AAS），BMDF

于是BFFM+BMCG+DF

上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF

方法三：

如图3所示，在BF上截取FKFD，得等腰Rt△DFK，

可证得∠DFC∠KFG135°，

所以△DFC≌△KFG（SAS），

所以KGDCBC，

∠FKG∠FDC∠CBF，KG∥BC，

得四边形BCGK为平行四边形，BKCG，

于是BFBK+KFCG+DF

图3

方法四

如图3所示，在BF上截取BKCG，

可得四边形BCGK为平行四边形，

BCGKDC，BC∥KG，

∠GKF∠CBF∠CDF

根据四边形BCFD为圆的内接四边形，

可证得∠BFC45°，∠DFC∠KFG，

于是△DCF≌△KGF（AAS），DFKF，

于是BFBK+KFCG+DF.

上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BDC和△KDF。

【类型】二、补短

“补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据辅助

线作法的不同也涉及四种不同的方法。

方法五：

如图4所示，延长GC至N，使CNDF，

易证△CDF≌△BCN（SAS），

可得CFFGBN，∠DFC∠BNC135°，

又知∠FGC45°，可证BN∥FG，

于是四边形BFGN为平行四边形，得BFNG，

所以BFNGNC+CGDF+CG.

图4

方法六：

如图4所示，延长GC至N，使NGBF，

得四边形BFGN为平行四边形，

所以BNGFCF，

又∠DCF+∠CDF∠CBN+∠BCN45°，

得∠DCF∠CBN，

又CDBC，可证△CDF≌△BCN（SAS），

DFCN，以下从略.

方法七：

如图5所示，延长CG至P，使CPBF，连接PF，

则四边形CPFB为平行四边形，PFBCDC，

又∠BFC45°，∠PFE∠DEC，

因为∠PFG∠FGC－∠P45°－∠P，

∠DCF∠CFE－∠CDF45°－∠CDF，

又可证∠P∠CBF∠CDF，于是∠PF