新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题20 极值点偏移问题(原卷版).doc

专题20极值点偏移问题

1．极值点偏移的含义

若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.

极值点x0

函数值的大小关系

图示

极值点不偏移

x0＝eq\f(x1＋x2,2)

f(x1)＝f(2x0－x2)

极值点偏移

左移

x0eq\f(x1＋x2,2)

峰口向上：f(x1)f(2x0－x2)

峰口向下：f(x1)f(2x0－x2)

右移

x0eq\f(x1＋x2,2)

峰口向上：f(x1)f(2x0－x2)

峰口向下：f(x1)f(2x0－x2)

2.函数极值点偏移问题的题型及解法

极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：

若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，

求证：x1＋x22x0(x0为函数f(x)的极值点)；

若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，

求证：x1＋x22x0(x0为函数f(x)的极值点)；

(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝eq\f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)0；

(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq\f(x1＋x2,2)，

求证：f′(x0)0.

3.极值点偏移问题的一般解法

3.1对称化构造法

主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：

(1)定函数(极值点为SKIPIF10)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点SKIPIF10．

(2)构造函数，即对结论SKIPIF10型，构造函数SKIPIF10或SKIPIF10；

(3)对结论SKIPIF10型，构造函数SKIPIF10，通过研究SKIPIF10的单调性获得不等式．

(4)判断单调性，即利用导数讨论SKIPIF10的单调性．

(5)比较大小，即判断函数SKIPIF10在某段区间上的正负，并得出SKIPIF10与SKIPIF10的大小关系．

(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将SKIPIF10与SKIPIF10的大小关系转化为SKIPIF10与SKIPIF10之间的关系，进而得到所证或所求．

3.2．差值代换法（韦达定理代换令SKIPIF10.）

差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用SKIPIF10表示)表示两个极值点，即SKIPIF10，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF10的函数问题求解．

3.3．比值代换法

比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用SKIPIF10表示)表示两个极值点，即SKIPIF10，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF10的函数问题求解．

3.4．对数均值不等式法

两个正数SKIPIF10和SKIPIF10的对数平均定义：SKIPIF10

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF10（此式记为对数平均不等式）

取等条件：当且仅当SKIPIF10时，等号成立．

3.5指数不等式法

在对数均值不等式中，设SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10，根据对数均值不等式有如下关系：SKIPIF10

专项突破练

1．已知函数SKIPIF10．

(1)求函数SKIPIF10的单调区间；

(2)当SKIPIF10时，证明：SKIPIF10