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第一讲加乘原理

加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m种不同的方法，在第二

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类方法中有m种不同的方法，……，在第N类方法中有m种不同的方法，那么完成这件工

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作共有N＝m＋m＋m＋…＋m种不同方法。

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运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以

独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任

何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不

同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m种方法，完成第二个步

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骤有m种方法，…，完成第N个步骤有m种方法，那么，完成这件工作共有m×m×…×m

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种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相

互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；

各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、

行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析

问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重

复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理

的简单应用。

一：两种原理的基础内容的记忆和计算的方法。

二：两种计数原理的区分和综合应用。

【题目】：1

用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有

多少种方法？

【题目】：2

各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

【题目】：3

有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条若干，从中选取

适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？

【题目】：4

一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要

试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

【题目】：5

某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一

样，共有多少种不同的买法？

【题目】：6

用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？

A

1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有

3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

2.旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗

表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

3.两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

4.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：

共有多少种不同的染色方法？

5.用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有

多少个？

6.右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬

行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。如果小虫爬行的总

长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？

B

1.小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级