高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.4指数与指数函数(原卷版+解析).docxVIP

2.4指数与指数函数

思维导图

知识点总结

知识点一无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a0，α为无理数)是一个确定的．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

知识点二实数指数幂的运算性质

1．aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．

2．(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．

3．(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．

知识点三分数指数幂的意义

分数指数幂

正分数指数幂

规定：＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)

负分数指数幂

规定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)

0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义

知识点四有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

知识点四指数函数的定义

一般地，函数(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考为什么底数应满足a0且a≠1?

答案①当a≤0时，ax可能无意义；②当a0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a0，且a≠1.

知识点五两类指数模型

1．y＝kax(k0)，当时为指数增长型函数模型．

2．y＝kax(k0)，当时为指数衰减型函数模型．

知识点六指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

性质

过定点

过定点，即x＝0时，y＝

函数值的变化

当x0时，；

当x0时，

当x0时，；

当x0时，

单调性

在R上是

在R上是

典型例题分析

考向一运用指数幂运算公式化简求值

例1计算下列各式(式中字母都是正数)：

(1)

(2)

(3)

反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

考向二分数指数幂运算的综合应用

例2(1)已知am＝4，an＝3，求eq\r(am－2n)的值；

(2)已知＝3，求下列各式的值．

①a＋a－1；②a2＋a－2；③

反思感悟条件求值问题的解法

(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

考向三指数函数的图象及应用

例1(1)函数y＝ax－eq\f(1,a)(a0，且a≠1)的图象可能是()

(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a0，且a≠1)恒过定点________．

(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋1＋2的图象？并画出相应图象．

反思感悟处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．

考向四比较大小

例4(1)比较下列各题中两个值的大小．

①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.

(2)设则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)

反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理方法

基础题型训练

一、单选题

1．化简的结果为（????）

A． B．

C． D．

2．函数，则方程的解集是（????）

A． B． C． D．

3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A．t≤–1 B．t–1

C．t≤–3 D．t≥–3

4．已知，，，则

A． B．

C． D．

5．已知函数，则使得成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

6．设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知函数，则下列叙述正确的是（????）

A．当时，函数在区间上是增函数

B．当时，函数在区间上是减函数

C．若函数有最大值2，则

D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是

8．已知函数，则（???）

A．为偶函数 B．是增函数

C．不是周期函数 D．的