高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)7.1不等式的性质(原卷版+解析).docxVIP

7.1不等式的性质

思维导图

知识点总结

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))

(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0）.))

2.不等式的性质

性质1若ab，则ba.

性质2若ab，bc，则.

性质3若ab，则a＋cb＋c.

性质4若ab，c0，则；

若ab，c0，则.

性质5若ab，cd，则a＋cb＋d.

性质6若ab0，cd0，则acbd.

性质7若ab0，则anbn(n∈N*).

[常用结论]

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

(1)若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).

(2)若ab0，则ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

(6)可开方性：a＞b＞0?(n∈N，n≥2)．

典型例题分析

考向一比较数(式)的大小

例1(1)若a＜0，b＜0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()

A.p＜q B.p≤q

C.p＞q D.p≥q

(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.

感悟提升比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

考向二构造法比较大小

例2(1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()

A.A≤B B.A≥B

C.A＜B D.A＞B

(2)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，则()

A.abc B.cba

C.cab D.bac

答案B

考向三不等式的基本性质

例3(1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有()

A.a－b＞0 B.2a＞2b

C.ac＞bc D.a2＞b2

(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则()

A.eq\f(c,a)＞eq\f(c,b) B.eq\f(b－c,a－c)＞eq\f(b,a)

C.ac＞bc D.a－c＞2eq\r(－bc)

感悟提升解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；

(2)利用特殊值排除法；

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.

考向四不等式性质的综合应用

例4(1)已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.

(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则eq\f(b,a)的取值范围是________.

感悟提升利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

基础题型训练

一、单选题

1．若，则下列不等关系中一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

2．下列命题中成立的是（????）

A．如果，，那么

B．如果，那么

C．如果，，那么

D．如果，，那么

3．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

4．已知，下列不等式中正确的是（????）.

A． B．

C． D．

5．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．设，，，为实数，满足，，，，则下列不等式正确的是(????)

A． B．

C． D．

二、多选题

7．若，则下列不等式不可能成立的是（????）

A． B． C． D．

8．已知，，满足，且，则下列不等式中恒成立的有（????）

A．， B． C． D．

三、填空题

9．不等式组的解集为________．

10．若、满足，则的取值范围是______．

11．已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________．

12．若关于的不等式在上恒成立，则的取