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矩阵相似合同等价--第1页
矩阵相似合同等价
篇一:如何判断矩阵的等价,相似,合同?
如何矩阵的等价,相似,合同?
(1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得
BPAQBr(A)r(B)
(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.
(2)A与B相似:P1APB,P可逆.
相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式
相同,行列式相同,如何判断两个一般的矩阵是否相似,考
研大纲并不要求,但是如果A,B相似于相同的对角阵,则由
相似关系有传递性知A,B相似.
(3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CTACB(C可逆)A与B
的正负惯性指数相同.
判断合同前提都是实对称矩阵,然后判断正负特征值的
个数是否完全相同,也即正负惯性指数相同即可.注:A,B合
同A,B等价1011A,B相似A,B等价,例A,B等价但不相似
0101
在A,B实对称的前提下,A,B相似A,B合同.
【例1】判定下列矩阵哪些等价,哪些相似,哪些合同
111110100000A000,B001,C000,D011.
000000000011
矩阵相似合同等价--第1页
矩阵相似合同等价--第2页
【解】先看等价:r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1,故A,C,D
等价.
再看相似:r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,排除B,考虑A,C,D,
A,C的特征值为1,0,0,D的特征值为2,0,0,从而排除D仅
仅考虑A,C,A的特征值为1,0,0,且二重特征值0对应两个
线性无关的特征向量。
100A相似于对角阵C000,从而A,C相似.
000
最后看合同:合同仅限对称阵,仅仅考虑C,D,C的特
征值为1,0,0,D的特征值为2,0,0,C的正惯性指数为1,
负惯性指数为0,D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0,
C,D合同.
111300【例2】判断A111,B000是否等价,相似,合同,
111000
【解】r(A)r(B)1,二者等价;
300A为对称阵一定相似于对角阵B000;从而A一定合
同于对角阵B.000
篇二:矩阵间合同、等价、相似的联系与区别
学号:矩阵间合同、等价、相似的联系与区别
20XX年05月
矩阵间等价、合同、相似的联系与区别
xxxX
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矩阵相似合同等价--第3页
摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间
的三种关系及区别:首先,简要介绍矩阵作为高等师范院校
数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知
识的理论性及应用性的特点;其次,简要介绍矩阵的概念及
基本运算,给出矩阵的秩和逆的解法;最后,给出矩阵等价、
合同、相似的定义,根据定义分析三者之间的联系与区别,
并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象,组织学
习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化,以自
主创新的态度来对待生活中的难
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