高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)6.3等比数列(原卷版+解析).docxVIP

6.3等比数列

思维导图

知识点总结

1．等比数列的有关概念

定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列

通项公式

设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab

2.等比数列的前n项和公式

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))

典型例题分析

考向一等比数列基本量的运算

1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()

A．14B．12C．6 D．3

解析：选D设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－q3?,1－q)＝168，,a1q?1－q3?＝42，))

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故选D.

2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为()

A．4B．5C．6 D．7

解析：选C根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝eq\f(a1?1－27?,1－2)＝1016?a1＝8，则a4＝8×23＝26?log2a4＝log226＝6.故选C.

3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq\f(7,2)a2，则S4＝______.

解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝eq\f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq\f(7,2)a2，即1＋q2＝eq\f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝eq\f(1－24,1－2)＝24－1＝15.

答案：15

方法总结

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1?1－qn?,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

考向二等比数列的判定或证明

[典例]已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解](1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，

∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，

∵a1＝eq\f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq\f(1,2)，

∴数列{an＋1－an}是以eq\f(1,2)为首项，4为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an＋1－an＝eq\f(1,2)×4n－1＝22n－3，

当n≥2时，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1

＝eq\f(1,2)＋eq\f(\f(1,2)?1－4n－1?,1－4)＝eq\f(1,3)(22n－3＋1)

当n＝1时，a1＝eq\f(1,3)(2－1＋1)＝eq\f(1,2)满足上式．

所以，an＝eq\f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．

[方法技巧]等比数列的判定方法

定义法

若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列

中项公式法

若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(