新高考数学二轮复习培优专题30 计数原理与概率统计大题综合 （解析版）.docVIP

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专题30计数原理与概率统计大题综合

1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为SKIPIF10，在项目B中甲班每一局获胜的概率为SKIPIF10，且每一局之间没有影响．

(1)求甲班在项目A中获胜的概率；

(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)SKIPIF10

(2)分布列见解析，SKIPIF10

【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；

（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望

【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，

则SKIPIF10，

所以甲班在项目A中获胜的概率为SKIPIF10

（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，

则SKIPIF10，

X的可能取值为0，1，2，

则SKIPIF10，

SKIPIF10，

SKIPIF10．

所以X的分布列为

X

0

1

2

P

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10．

所以甲班获胜的项目个数的数学期望为SKIPIF10

2．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中SKIPIF10的学生计划只选择校本课程一，另外SKIPIF10的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．

(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)从学生中随机抽取n人SKIPIF10，记这n人的合计得分恰为SKIPIF10分的概率为SKIPIF10，求SKIPIF10．

【答案】(1)分布列见解析，SKIPIF10

(2)SKIPIF10

【分析】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为SKIPIF10，选择校本课程二的概率为SKIPIF10，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；

(2)这n人的合计得分为SKIPIF10分，则其中只有1人计划选择校本课程二，

则SKIPIF10，设SKIPIF10，利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为SKIPIF10，

选择校本课程二的概率为SKIPIF10，

则X的可能取值为3，4，5，6，

SKIPIF10，SKIPIF10，

SKIPIF10，SKIPIF10，

所以X的分布列如下表所示：

X

3

4

5

6

P

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

所以SKIPIF10．

（2）因为这n人的合计得分为SKIPIF10分，则其中只有1人计划选择校本课程二，

所以SKIPIF10，

设SKIPIF10，

则SKIPIF10，

由两式相减得SKIPIF10