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对数及其运算基础知识及例题

1、定义：

对数是指用一个数b（b0且不等于1）作为底数，将一

个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），

则x称为以b为底a的对数，记作logba。

2、性质：

①logb1=0（b0且不等于1）

②logbb=1（b0且不等于1）

③logb(mn)=logbm+logbn（m0，n0，b0且不等于1）

④logb(m/n)=logbm-logbn（m0，n0，b0且不等于1）

⑤logbm^k=klogbm（m0，b0且不等于1，k为任意实

数）

3、对数的运算性质：

①logb(mn)=logbm+logbn

②logb(m/n)=logbm-logbn

③logbm^k=klogbm

④logb(a^k)=klogba

⑤logba=logca/logcb（b0，且不等于1，c0，且不等

于1）

4、换底公式：

XXXb（b0，且不等于1，c0，且不等于1）

5、对数的其他运算性质：

①logba=logbc，则a=c

②logba=logca/logcb=logda/logdb

6、常用对数和自然对数：

常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。

自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。

典型例题】

类型一、对数的概念

例1.求下列各式中x的取值范围：

1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.

改写为：

1）x≥5；

2）x1且x2；

3）x1且x1且x1.

类型二、指数式与对数式互化及其应用

例2.将下列指数式与对数式互化：

1)log216=4；(2)log1/27=-3；(3)log31/2=-1/log23；

(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.

改写为：

1)2^4=16；

2)1/27=3^-3；

3)3^-1/2=2/log23；

4)5^3=125；

5)2^-1=1/2；

6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.

类型三、利用对数恒等式化简求值

1+log577=log5500.

类型四、积、商、幂的对数

例4.用logax,logay,logaz表示下列各式：

1)loga(xy/z)=logax+logay-logaz；

2)loga(xy)=logax+logay；

3)loga(x^2/y^3z)=2logax-3logay-logaz；

4)loga(x^2y^3/z)=2logax+3logay-logaz。

例5.已知log189=a,18=5，求log3645.

由log189=a可得9=18^a=5^(2a)，即a=1/2.

又因为36=18*2，45=9*5，所以log3645=log189+log18

5=log189+log18(3^2)=2log183+1/2=log336+1/2=4+1/2=9/2.

类型六、对数运算法则的应用

例6.求值：

1)log6432*log28=5；

2)lg14-2lg5=log514/25；

3)log2(log3111)+log7/lg318=log436；

4)(log2125