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大一高数知识点总结加例题--第1页

大一高数知识点总结加例题

1.数列与数列的极限

数列：对于给定的数列{an}，其中每一个数an都有其对应的

项下标n。数列可以是有限的，也可以是无限的。

数列的极限：当数列中的项随着下标的增加趋近于某个固定

的实数L时，我们称该数L为数列的极限，并记为lim(an)=L。

例题1：求数列{an}的极限，并给出证明过程。

解：首先，我们根据数列的定义观察数列的变化规律，尝试

找出数列的极限。假设数列的项表示为an=1/n，则我们计算前几

项的具体数值：

a1=1/1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4，...

通过观察计算，我们可以发现随着n的增加，数列的每一项

都在逐渐变小，接近于0。因此，我们猜测该数列的极限为0。

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接下来，我们需要证明该猜测成立。对于给定的ε0，我们

需要找到对应的正整数N，使得当nN时，有|an-0|ε。

由数列的定义可知，

|an-0|=|1/n-0|=1/n

为了使得1/nε成立，我们需要找到满足1/nε的最小的

正整数N。

当n1/ε时，显然有1/nε。

因此，我们可以选择N=1/ε。当nN时，有|an-0|ε。

综上所述，根据极限的定义和证明过程，数列{an}的极限为

0。

2.函数与函数的极限

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函数：函数是一个数学概念，它描述了输入值与输出值之间

的关系。通常用f(x)表示函数，其中x为输入值，f(x)为输出值。

函数的极限：当自变量x趋近于某一固定值a时，函数f(x)

的取值也会趋近于某一固定值L，我们称L为函数f(x)在x趋近于

a时的极限，并记为lim(f(x))=L。

例题2：求函数f(x)=(x^2+1)/(x-1)的极限，并给出证明过

程。

解：首先，我们观察函数的定义并尝试找出函数的极限。当

x趋近于1时，分母(x-1)趋近于0，导致函数f(x)的值趋于无穷大。

为了证明这一极限，我们需要利用极限的定义来进行证明。

对于给定的ε0，我们需要找到对应的正数δ，使得当0|x-1|

δ时，有|f(x)-∞|ε。

首先，我们将函数重新写为f(x)=x+1+1/(x-1)。

当x2时，有1/(x-1)0。

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对于给定的ε0，我们可以选择δ=min{1,ε}。

当0|x-1|δ时，有1x2。

因此，当x2时，有

x+1+1/(x-1)3ε。

综上所述，根据极限的定义和证明过程，函数f(x)=(x^2+

1)/(x-1)在x趋近于1时的极限为∞。

3.导数与导数的应用

导数：对于函数f(x)，在某个点x上的导数表示函数在该点

的变化率。导数可以通过求该点的极限来进行计算。

导数的应用：导数在数