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上海市上海市实验学校2025届高三上学期9月练习数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．不等式的解集为．

2．用反证法证明命题“如果，可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是．

3．根式的指数幂形式为.

4．已知幂函数的图象经过点，求．

5．设集合，且，则实数m的值为.

6．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

7．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是．

8．已知，则的解集为．

9．已知，均为正实数，且，则的最大值为.

10．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是.

11．对于集合，给出如下三个结论：

①如果，那么；

②如果，那么；

③如果，，那么.

其中正确结论的序号是．

12．已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为．

二、单选题

13．若且，则下列不等式中一定成立的是（????）

A． B． C． D．

14．集合的子集个数为（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

15．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（????）

A． B． C． D．

16．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

三、解答题

17．设集合，.

(1)若且，求的取值范围；

(2)若，求的取值范围.

18．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.

(1)求证平面；

(2)求平面与平面的夹角余弦值；

19．近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．

(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？

(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：

①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；

②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

20．已知函数，，

(1)当时，解不等式；

(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；

(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.

21．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；

(3)已知无穷正数数列an满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

C

D

D

B

1．

【分析】分式不等式移项，通分，再转化为一元二次不等式，即可求解.

【详解】，即，

，解得：或，

所以不等式的解集为.

故答案为：

2．，都不能被5整除

【分析】根据反证法的特点求解即可.

【详解】用反证法证明时，应先假设命题的结论不成立，则假设的内容应是，都不能被5整除.

故答案为：，都不能被5整除

3．

【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解．

【详解】，．

故答案为：．

4．

【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解.

【详解】设幂函数为，

因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，

所以.

故答案为：.

5．5

【分析】根据元素与集合的关系，建立关于m的方程，解方程及验证得解.

【详解】集合，且，

（i）当时，，，违反集合元素的互异性，

（ii）当时，解得或，

①当时，不满足集合元素的互异性，舍去，

②当时，，满足