北师大版八年级下册数学压轴题专题.pdf

北师大版八年级下册数学压轴题专题--第1页

1小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，

CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠

EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，

请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥

CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不

标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

方法：（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

（3）________________________________________________________

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北师大版八年级下册数学压轴题专题--第2页

1（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠EAF=∠B，

∴∠EAF+∠C=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF；

（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

，∴△AEP≌△AFQ，∴AP=AQ；

（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ的面积，

解：连接AC、BD交于O，∵∠ABC=60°，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，

∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，

∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，

由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，

OA=AB=2，OB=AB=2，

∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，

∴四边形APCQ的面积=4．

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北师大版八年级下册数学压轴题专题--第3页

2问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），

将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满

足的等量关系式为；

探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋

转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证

明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，

求AD的长．

方法：（1）________________________________________________________

（2）________________________________________________________

（3）________________________________________________________

北