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试卷分配问题的优化模型

摘要

本文主要研究试卷的合理分配问题。试卷分配的合理性既是竞赛

规则的要求，也是竞赛评判的公平性的重要保证。因此，解决试卷分

配的合理性问题有很强的现实意义。本文所考察的考试涉及200余份

试卷和12位评委，数据规模大，人工求解分配方案计算量较大，难

以实现。为此，我们采用了计算机编程的方法解决问题。

对问题一，我们采取了下面的方法：

（1）利用计算机随机产生一系列的试卷分配方案，在此过程中，通

过机器判断，使产生的试卷分配方案满足R1、R2和D2的要

求。

（2）利用不均衡度D对（1）中的试卷分配方案进行限制，使产生

的试卷分配方案满足D1的要求。

（3）利用不均衡度Dd对（2）得到的方案进行筛选，使得输出的试

卷分配方案满足D3的要求。从而得出问题一的比较公平合理

的分配方案。

（4）用上述方法产生50个可行解，筛选出它们中两位或三位评委相

同的情况较少的解。

这样我们得到了问题一的解。

在问题一的基础上，我们通过讨论，采用了同一份试卷的四个评

委中，判高分和判低分的评委数最多相差1的限制条件，得到问题二

的解。

关键词：公平随机不均衡度D加权不均衡度Dd

一、问题背景

数模竞赛一般采取多位评委打分的方式确定名次，评委大都来自

各参赛高校。

竞赛规则规定：

R1.每份试卷由四位不同的评委评阅。

R2.每个评委只能评阅非本单位的试卷。

同时，为了保证最终阅卷结果的客观性与公正性，竞赛组委认为

一个理想的试卷分配方案应满足如下要求：

D1.各评委评阅的试卷数量应尽可能均衡。

D2.任意两份试卷不能由相同的四位评委评阅，并应尽量减少

有两位或三位评委相同的情况。

D3.同一单位的试卷在评委中的分布应尽量均衡。

我们需要根据上述要求设计合理的试卷分配方案，并就附录中的

数据实例给出具体的分配方案及该方案对D1～D3的满足情况。

在此基础上，根据以往评阅记录，统计得出各位评委的判分高低

倾向，例如附录中评委1、2、3有判高分倾向，评委4、5、6有判低

分倾向，如何利用此信息结合以上要求设计公平合理的试卷分配方案

是我们面临的又一问题。

二、符号说明

D——不均衡度

Dd——加权不均衡度

iN——第i个单位的试卷总数

p[i]——第i位评委（1≤i≤12）的实际阅卷量

iA(j)——第j个评委评阅的第i个单位的试卷的份数（1≤j≤12）

iB——i号单位的试卷按理想情况平均分给各位评委时，每位评

委得到的i号单位试卷数

三、问题分析

我们的目标是建立一个公平合理的试卷分配方案。所谓“公平合

理”是指满足竞赛规则规定R1、R2并尽量满足理想的试卷分配方案

的要求D1、D2、D3。其中R1是对评委评阅试卷“广泛性”的要求，

即一份试卷尽量由较多数量的评委评阅以避免仅由一位评委评阅所

引起的成绩的不公平性、主观性和偶然性；R2是为了避免评委对本

单位的试卷人为的抬高分数；D1是为了使每位评委都能够同等程度

的参与到试卷的评阅之中，避免少数评委对整体的评卷结果影响过

大；D2增加了评委组合的多样性；D3避免了同一单位的试卷仅由

少数的几位评委评阅，当这几位评委有判分不公正倾向时，该单位整

体将会受到不公正的待遇。

1、不均衡度D与要求D1

对于条件D1我们设置一个参数D，称为“不均衡度”。227份试

卷共需要227*4=928人次评阅，因此，每位评委在理想情况（试卷分

配均衡）下，每人评阅的试卷数是928/12=227/