新高考数学二轮复习强化练习专题15 几何体与球切、接、截的问题（讲）（解析版）.docVIP

第一篇热点、难点突破篇

专题15几何体与球切、接、截的问题（讲）

真题体验感悟高考

1．（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为SKIPIF10（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为SKIPIF10的球，其上点A的纬度是指SKIPIF10与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为SKIPIF10，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为SKIPIF10（单位：SKIPIF10），则S占地球表面积的百分比约为（????）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【答案】C

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

SKIPIF10.

故选：C.

2．（2020·全国·统考高考真题）已知SKIPIF10为球SKIPIF10的球面上的三个点，⊙SKIPIF10为SKIPIF10的外接圆，若⊙SKIPIF10的面积为SKIPIF10，SKIPIF10，则球SKIPIF10的表面积为（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【分析】由已知可得等边SKIPIF10的外接圆半径，进而求出其边长，得出SKIPIF10的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆SKIPIF10半径为SKIPIF10，球的半径为SKIPIF10，依题意，

得SKIPIF10，SKIPIF10SKIPIF10为等边三角形，

由正弦定理可得SKIPIF10，

SKIPIF10，根据球的截面性质SKIPIF10平面SKIPIF10，

SKIPIF10，

SKIPIF10球SKIPIF10的表面积SKIPIF10.

故选：A

3.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为SKIPIF10，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为SKIPIF10，

则SKIPIF10

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为SKIPIF10

又设四棱锥的高为SKIPIF10，则SKIPIF10，

SKIPIF10

当且仅当SKIPIF10即SKIPIF10时等号成立.

故选：C

[方法二]：统一变量＋基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为SKIPIF10，底面所