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广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列方程中一定是一元二次方程的是（??）

A． B．

C． D．

3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（????）

A．1 B． C．1或 D．

4．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（????）

??

A． B．5 C．3 D．4

5．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（????）

A． B．且 C． D．且

6．下列说法中，正确的是（??）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．对角线相等的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的矩形是正方形

D．对角线互相垂直的四边形是菱形

7．如图，五边形是正五边形，且．若，则（????）

??

A． B． C． D．

8．在平面直角坐标系中，正方形、、、…按如图所示的方式放在其中点在y轴上，点，，，，，、…在x轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是（????）

A． B． C． D．

二、填空题

9．因式分解：.

10．将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是.

11．若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是．

12．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为．

13．如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为．

三、解答题

14．解方程：

(1)；

(2)．

15．先化简代数式，再从-2，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．

16．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题．首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一无一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？例题：解一元二次不等式分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从面将转化为，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．

解：

可化为

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②

解不等式组①，

解不等式组②，

即一元二次不等式的解集为

拓展应用：

求一元二次不等式的解集．

求分式不等式的解集．

求一元二次不等式的解集．

17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

18．根据以下素材，探索完成任务．

如何确定拍照打卡板

素材一

设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．

素材二

因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．

??

问题解决

任务一

推理最大高度

小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．

任务二

探究等腰三角形面积

假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式．

任务三

确定拍照打卡板

小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值」

19．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形中，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（不需要证明）

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取的中