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大一上册高数知识点笔记

一、微分学

1.函数与极限

在微分学中，一个重要的概念是函数和极限。一个函数可以看

作是一种映射关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取

值。而极限则描述了一个函数在某一点附近的变化趋势。

2.导数与微分

导数描述了函数在某一点处的变化率，可以看作是函数曲线在

该点处的切线斜率。微分则是导数的微小变化，用于描述函数在

某一点处的局部线性逼近。

3.高阶导数与泰勒展开

高阶导数描述了函数变化的更高阶特性，可以通过多次求导得

到。而泰勒展开则是一种将函数在某一点附近展开为幂级数的方

法，用于近似计算函数的值。

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二、积分学

1.定积分与不定积分

积分描述了函数曲线下某一区间的面积，可以看作是导数的逆

运算。定积分是计算函数在一定区间上的积分值，而不定积分则

是求出一个与原函数的导数关系的函数。

2.牛顿—莱布尼兹公式

牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的重要方法，它将函数在两

个端点处的值与积分结果联系起来。

3.曲线长度与旋转体的体积

利用定积分，我们可以计算曲线的长度以及旋转体的体积。曲

线长度的计算是将曲线分割成无数小段，在每一小段上计算微小

长度，然后将这些微小长度相加。旋转体的体积计算则是将曲线

围绕某个轴旋转，然后计算旋转体的体积。

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三、微分方程

1.一阶微分方程

一阶微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。

常见的一阶微分方程有可分离变量方程、一阶线性方程和可降阶

方程等。

2.高阶微分方程

高阶微分方程是描述未知函数的高阶导数与自变量之间关系的

方程。常见的高阶微分方程有常系数线性齐次方程、常系数线性

非齐次方程和欧拉方程等。

3.解微分方程的方法

解微分方程的方法有常数变易法、待定系数法、特征方程法和

变量可分离法等。不同类型的微分方程需要采用不同的解法。

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四、多元函数微积分

1.多元函数的极限与连续性

多元函数的极限与单变量函数的极限类似，描述了函数在某一

点附近的变化趋势。多元函数的连续性则表明函数在某一点处存

在极限，并且其极限与函数值相等。

2.偏导数与全微分

偏导数是多元函数对于其中一个变量的导数，它描述了函数在

某个方向上的变化率。全微分则是多元函数的微小变化，可以通

过偏导数来计算。

3.多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值是函数取得最大或最小值的点，可以通过求解

偏导数为零的方程得到。而条件极值则是在一定条件下取得最大

或最小值，可以通过拉格朗日乘数法求解。

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以上是大一上册高数的知识点笔记，涵盖了微分学、积分学、

微分方程和多元函数微积分等内容。通过掌握这些知识点，我们

可以更好地理解和应用数学在各个领域中的应用。希望这份笔记

对你的学习有所帮助！

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