备考2025年高考数学一轮复习第四章考点测试25.docxVIP

考点测试25正弦定理、余弦定理及其应用

高考

概览

本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中、低等难度

考点

研读

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

一、基础小题

1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＋B＝eq\f(5π,6)，a＝3，c＝2，则sinA＝()

A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)

C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)

答案C

解析因为A＋B＝eq\f(5π,6)，所以C＝eq\f(π,6)，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(3,sinA)＝4，所以sinA＝eq\f(3,4).故选C.

2．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则△ABC的面积等于()

A．3eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)

C.eq\f(3\r(3),2) D.eq\f(3\r(3),4)

答案C

解析设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝c2＋4－2×2ccos60°，c2－2c－3＝0，又c＞0，∴c＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×3×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).故选C.

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2ccosB－bcosA＝acosB，则B＝()

A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)

C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)

答案B

解析因为2ccosB－bcosA＝acosB，所以由余弦定理得2c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，整理得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).故选B.

4．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，a－b＝1，eq\r(3)acosC－csinA＝0，则c＝()

A．7 B．eq\r(7)

C．2eq\r(7) D．eq\r(14)

答案B

解析在△ABC中，∵eq\r(3)acosC－csinA＝0，∴eq\r(3)sinAcosC－sinCsinA＝0，∵sinA≠0，∴eq\r(3)cosC－sinC＝0，即tanC＝eq\r(3)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)，∴S△ABC＝eq\f(\r(3),4)ab＝eq\f(3\r(3),2)，解得ab＝6，又a－b＝1，解得a＝3，b＝2，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝7，解得c＝eq\r(7).

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝()

A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)

C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)

答案C

解析在△ABC中，∵S＝eq\f(1,2)absinC，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，且2S＝(a＋b)2－c2，∴absinC＝(a＋b)2－(a2＋b2－2abcosC)，整理得sinC－2cosC＝2，∴(sinC－2cosC)2＝4.∴eq\f(（sinC－2cosC）2,sin2C＋cos2C)＝4，化简可得3tan2C＋4tanC＝0.∵C∈(0，π)，∴tanC＝－eq\f(4,3).故选C.

6．设f(x)＝sinxcosx－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝0，a＝1，则△ABC面积的最大值为()

A.eq\f(2＋\r(3),3) B.eq\f(3＋\r(3),3)

C.eq\f(2＋\r(3),4) D.eq\f(3＋\r(3),4)

答案C

解析f(x)＝sinxcosx－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋cos