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基本不等式常见题型归纳汇总

与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是高中数学中

大的两个考察方向，而基本不等式作为不等式问题的重要组成部分，

贯穿高中数学中圆锥曲线、数列、函数、三角函数等多个知识点，所

有掌握基本不等式的基本题型，对解决与基本不等式相关的问题显得

尤为重要。现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结，以供师生参

考。

主要知识

题型一

基于简单变换的基本不等式问题

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此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解，求积的取值范

围问题转化为和为定值求解为突破口，借助构造思想，构造为可以使

用基本不等式的形式；常见的构造变换方法有凑项变换、拆项变换、

系数变换、平方变换、常量代换、三角代换等。

题目

思路点拨

以上8题借助常见的转换形式，往和为定值或者积为定值的方向

转化即可。

解析

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变式提升

思路点拨

借助常见的转换形式，往常见基本不等式相关形式转化即可。注

意基本不等式“一正二定三相等”条件的限制。

题目

思路点拨

解析

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变式提升

思路点拨

分离参量，然后分子分母同除，再借助分离变换即可。

题型二

基于ax+by+cxy=d类型的构造

此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取

值范围，题型切入口为将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造

法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等。

题目

思路点拨

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将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。

解析

题目

思路点拨

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将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。

解析

变式提升

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思路点拨

借助构造与变形转化为不等式或者单变量函数关系式，然后利用

构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等方法求解即可。

题目

思路点拨

把题目中等式进行变形，变量代换后整体代入运用基本不等式求

解。

解析

题型三

基于复杂变换类型的构造

此类题型常常题设复杂，需要向基本不等式方向变换多次或者多

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次运用基本不等式，考察的角度为学生综合处理问题能力以及对不等

式的熟练程度。能够掌握这类题型需要建立在掌握题型一、题型二的

基础上，解题的中心思路还是往和为定值或者积为定值的方向转化。

题目