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过两曲线交点的曲线系方程及应用

高中数学第二册（）（的第4题是：

上修订试验本）88页B组第

=0和人（、=，，

两条曲线的方程是力x,y%，）。它们的交点是尸x0

九），求证方程

：

.

匕yy=0的曲线也经过点尸（

x,+2f2x,2是任意实数）

本题证明较易在此略.它揭示了过两曲线交点的曲线系方程（

，“不

含曲线人（，），

丁），在解决过两曲线交点问题极其简捷下面举例说明.

一、求直线方程

例1+和32

求经过两条曲线/+『3%-0+3y+0交点

y=X2+2xy=

的直线的方程.

解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是

：

++2=

22+3x-y+2x+y

xy23%2+3y0

整理（2++（+）X

，得31/+3几+1）『223+（2—ly=O.

4

令32+1=0,即=-,，

故所求的直线为

3

7x—4y=0.

二、求定点坐标

例2求证：m，（3根+元+5—2zny+一6=0

不论取何实数方程47m

所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标.

解：由原方程整理，得

（

4x+5y—6+加3x—2y+7=0

4x+5y—6=0x=-l

令解得

3%—2y+