高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)6.4数列的综合应用(原卷版+解析).docxVIP

6.4数列的综合应用

思维导图

典型例题分析

考向一求通项公式

(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;

(2)求{an}和{bn}的通项公式.

思路分析(1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1=12(an+bn),从而证得数列{an+bn}为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证得数列{an-bn}为等差数列.(2)由(1)可求出{an+bn},{an-bn}的通项公式,从而得an,bn

考向二求和公式及其应用

(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{bn}的前n项和.

考向三求参数问题

已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

(2)若S5=3132,求

思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.

考向四构造法在数列中的应用

数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.

(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.

考向五数列求和的综合问题

(2021全国乙文,19,12分)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:TnSn

解题指导(1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的求和公式算出Sn,对于数列{bn},利用错位相减法求出Tn,再利用比较大小的基本方法——作差法即可证明不等式.

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.

方法总结一般地,如果{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

基础题型训练

一、单选题

1．在等差数列中，已知，公差，则（）

A．10 B．12 C．14 D．16

2．若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（????）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，，，则公比等于（????）

A．4 B．2 C． D．或4

4．在各项为正的递增等比数列?中，?，则?（????）

A．? B．?

C．? D．?

5．已知数列满足，，则数列的前9项和为（）

A．35 B．48 C．50 D．51

6．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，即此数列第1项是，接下来2项是，，再接下来3项是，，，，设是数列的前项和，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（????）

A．是递增数列 B．

C．当时， D．当或4时，取得最大值

8．设等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，已知，则下列结论正确的是（????）

A． B． C．与均为的最大值 D．

三、填空题

9．已知数列的前项和，则__________．

10．下面给出一个“直角三角形数阵”：

满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则_____．

11．设等比数列的前项和为，若，则__________.

12．在等差数列中，其前项和为，已知公差，则__________．

四、解答题

13．已知数列中，且.求数列的通项公式.

14．已知数列满足，，是等比数列．

（1）求证：；

（2）求数列的前项和．

15．已知等差数列的前n项和为，.

（1）求的通项公式；

（2）设，记为数列的前n项和.若，求.

16．设函数，设，．

(1)计算的值．