2021年近世代数练习题题库.docVIP

§1第一章基本知识

判断题：

设
与
都是非空集合,那么
。（）

A×B=B×A（）

只要
是
到
一一映射,那么必有唯一逆映射
。（）

如果是A到一一映射,则EMBEDEquation.2[(a)]=a。()

集合A到B可逆映射一定是A到B双射。（）

设
、
、
都是非空集合,则
到
每个映射都叫作二元运算。（）

在整数集Z上,定义“
”：a
b=ab(a,b∈Z),则“
”是Z一种二元运算。（）

整数整除关系是Z一种等价关系。()

填空题：

若A={0,1},则A(A=__________________________________。

设A={1,2},B={a,b},则A×B=_________________。

设={1,2,3}B={a,b},则AB=_______。

设A={1,2},则A(A=_____________________。

设集合
；
,则有
。

如果
是
与
间一一映射,
是
一种元,则
。

设A=｛a1,a2,…a8｝,则A上不同二元运算共有个。

设A.B是集合,|A|＝|B|＝3,则共可定义个从A到B映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。

设A是n元集,B是m元集,那么A到B映射共有____________个.

设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.

设A={a,b,c,d,e},则A一一变换共有______个.

集合
元间关系～叫做等价关系,如果～适合下列三个条件:_____________________________________________。

设A=｛a,b,c｝,那么A所有不同等价关系个数为______________。

设～是集合
元间一种等价关系,它决定
一种分类:
是两个等价类。则
______________。

设集合
有一种分类,其中
与
是
两个类,如果
,那么
______________。

设A=｛1,2,3,4,5,6｝,规定A等价关系～如下:a～b
2|a-b,那么A所有不同等价类是______________。

设M是实数域R上全体对称矩阵集合,～是M上合同关系,则由～给出M所有不同等价类个数是______________。

在数域F上所有n阶方阵集合M
（F）中,规定等价关系
A~B
秩(A)=秩(B),则这个等价关系决定等价类有________个。

设M100(F)是数域F上所有100阶方阵集合,在M100(F)中规定等价关系~如下：A~B
秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定等价类共有_______个。

若M={有理数域上所有3级方阵},A,B?M,定义A~B?秩(A)=秩(B),则由”~”拟定等价类有_____________________个。

证明题：

设
是集合A到B一种映射,对于
,规定关系“~”:
.证明:“~”是A一种等价关系.

在复数集C中规定关系“~”:
.证明:“~”是C一种等价关系.

在n阶矩阵集合
中规定关系“~”:
.证明:“~”是
一种等价关系.

设“~”是集合A一种关系,且满足：（1）对任意
,有
；（2）对任意
,若
就有
.证明：“~”是A一种等价关系.

设G是一种群,在G中规定关系“~”：
存在于
,使得
．证明：“~”是G一种等价关系．

第二章群论

判断题：

§2.1群定义.

设非空集合G关于一种乘法运算满足如下四条:

(A)G对于这个乘法运算都是封闭；

(B)(a,b,cG,均有(ab)c=a(bc)成立；

(C)存在G,使得(aG,均有ea=a成立；

(D)(aG,都存在aG,使得aa=e成立。

则G关于这个乘法运算构成一种群。()

设非空集合G关于一种乘法运算满足如下四条:

A）G对于这个乘法运算是封闭；

B）
a,b,c
G,均有（ab）c=a(bc)成立；

C）存在e

G,使得
a
G,均有ae
=a成立；

D）
a
G,都存在a

G,使得a
a=e
成立。

则G关于这个乘法运算构成一种群。（）

设G是一种非空集合,在G中定义了一种代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群