2024年中考数学二轮复习模块专练—圆的有关性质及与圆有关的位置关系（含答案）.docxVIP

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2024年中考数学二轮复习模块专练—圆的有关性质及与圆有关的位置关系（含答案）

一、圆的有关性质

1．圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

2．圆心角定理

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；

（2）推论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（可弦心距），三组量中只要有一组量相等，那么其它两组量也相等；

如图：①；②；③；④，这4个结论具有1推3；

3．垂径定理

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）推论：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；

④在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等；

如图：①是直径②③④⑤，这5个结论具有二推三；

4．圆周角定理

（1）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；

（2）推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径；

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

∠AOB=2∠C∠D=∠C=∠E∵∠F=∠E，∴；∵AB是直径，∴∠C=90°

二、与圆的位置关系

1．点与圆的位置关系

位置关系

图形

定义

性质及判定

点在圆外

点在圆的外部

点在的外部．

点在圆上

点在圆周上

点在的圆周上．

点在圆内

点在圆的内部

点在的内部．

2．直线与圆的位置关系

（1）设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系

图形

定义

性质及判定

相离

直线与圆没有公共点

直线与相离

相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点

直线与相切

相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线

直线与相交

（2）切线的判定和性质

①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；

②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

如图：；

（3）切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

如图：∵、是的两条切线，∴，平分；

3．三角形与圆的位置关系

（1）三角形的外接圆：三角形三个顶点都在同一个圆上，这个圆就是三角形的外接圆，三角形就是圆的内接三角形，外接圆的圆心简称外心，外心就是三角形三边的垂直平分线的交点；

（2）三角形的内切圆：三角形的三条边都和同一个圆相切，这个圆就是三角形的内切圆，三角形就是圆的外切三角形，内切圆的圆心简称内心，内心就是三角形三条角平分线的交点；

4．四边形与圆的位置关系

（1）圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；

（2）圆的外切四边形的性质：圆的外切四边形的对边之和相等；

《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：

1．理解圆及相关概念；

2．探索并掌握点与圆的位置关系；

3．探索并证明垂径定理；

4．探索并知道圆周角定理；

5．了解三角形的内心与外心；

6．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念；

7．探索并证明切线长定理；

【例1】

（2022·吉林·统考中考真题）

1．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变1】

（2023·江苏镇江·统考中考真题）

2．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为．

【例1】

（2023·湖北襄阳·统考中考真题）

3．如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则度．

【变1】

（2023·江苏·统考中考真题）

4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是．

【例1】

（2023·广西·统考中考真题）

5．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（????）

??

A． B． C． D．

【变1】

（2022·江苏镇江·统考中考真题）

6．如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出