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变限积分的性质

摘要

变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重

要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地

位。本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包

括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一

些应用。通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作

用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用

引言

随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的

数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的

思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越

来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称

是人类智慧最伟大的成就之一。积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分

为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性

质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识

点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。下面我们将介绍变限积分的概

念、性质和应用。

1.变限积分的概念与理解

1.1变限积分的定义

[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也

可积，于是，由

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x,,,()(),[,]xftdtxab(1),a

定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x

限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:

b,,,(),(),[,].xftdtxab(2),x

与统称为变限积分;变量复合函数定义为:,,

uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(),,,,avxvx()()

[,],,,[,]abux()vx()ux()vx()其中、是定义在上的函数且，.

xfxdx()注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a

以免与积分上、下限的混淆。x

1.2对变限积分基本概念的理解

,x2sin;xdxsin;xdx例题，计算(1)(2)(3)并由此说明不sin.xdx,,,0o

定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。

(,)xcsincos;xdxxc,,，解:(1)=I1,

xxIxxdxcosxxx()sincos0cos1cos;,,,,,,,(2)20,0

,,,22Ixdx,,,,,,sincoscos0cos1.(3)30,02

xsinxdxsinxsinxdx不定积分表示的含有任意常数的原函数;积分是,,0

,2sinx上限变量的函数，也是的一个原函数;而定积分表示xsinxdx,0

,sinxx,0一个数，它是的任意一个原函数在与两点处函数值之x,2

差。笼统地说，定积分是数，变上限积分是一个函数，而不定IIx()32

c,1积分是一族函数。即为;此处取可得，;Ixc(,)III,Ixc()，111221

,取时，，三者既有联系又有区别。x,II,232

2.变限积分的性质

2.1连续性: