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数值代数期末论文：写一篇关于数值代数的论文，格式标题宋体、二号、加粗；标题下写

班级，姓名，8位学号，宋体、三号；正文，宋体、小四。字数能达到两张A4纸就行。在

12月30日之前交打印搞，女生交给陈凤姣！请大家相互转告！谢谢~~~

数值代数的基本问题研究数值方法的必要性矩阵分解是设计算法的主

要技巧敏度分析与误差分析算法复杂性与收敛速度

自从1946年第一台电子计算机问世以来，经过半个世纪的发

展，使得科学与工程计算已经成为本世纪最重要的科学进步之一。科学

计算已与理论研究及科学试验并列成为当今世界科学活动的三种主要

方式。在许多科学与工程领域如果没有计算就不可能有第一流的研究成

果。为众多的科学与工程问题提供计算方法，提高计算的可靠性、有效

性和精确性，便是科学与工程计算这一领域的主要研究内容。

数值线性代数又称矩阵计算，它是科学与工程计算的核心。可

以毫不夸张地讲，大部分科学与工程问题最终都要归结为一个矩阵计算

问题，其中具有挑战性的问题是大规模矩阵计算问题。数值线性代数研

究的主要内容就是，如何针对各类科学与工程问题所提出的矩阵计算问

题的特点，设计出相应的快速可靠的算法。

1.数值线性代数的基本问题

数值线性代数主要包括如下三个大问题：

（1）求解线性方程组的问题。即给定一个非奇异矩阵和一个向

量，求使得

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（2）线性最小二乘问题。即给定一个矩阵和一个向量，

求使得

（3）矩阵特征值问题。即给定一个矩阵，求它的部分或全部特

征值以及对应的特征向量。

除此之外，还有一些其他问题也是十分重要和基本的，如约束最小二乘

问题、完全最小二乘问题、矩阵方程的求解、矩阵函数的计算问题、广

义特征问题、非线性特征问题、特征值反问题、奇异值分解的计算问题

等。特别是奇异值分解的计算，由于其应用十分广泛，目前有的教科书

已经将其列为数值线性代数的第四大问题。

2.研究数值方法的必要性

众所周知，线性线性组、线性最小二乘问题和矩阵特征值问题的数学

理论已经相当完善了。但是这些理论上非常漂亮的结果应用于实际计算

时往往是行不通的。例如，线性方程组的Gramer法则表明：如果阶

线性方程组的系数矩阵A非奇异，则此方程组有唯一的解，并且

其解可以通过系数表示为：

其中：

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这里是将A的第i行换为b而得到的矩阵。这一结果把线性方程组的

求解问题归结为计算n+1个n阶行列式的问题。而对于行列式的计算，

理论上又有著名的Laplace展开定理：

其中表示元素的代数余子式。按照这一定理我们就可以从二阶行

列式出发逐步递推地计算出任意阶行列式的值。这样，理论上我们就有

了一种非常漂亮的求解线性方程组的方法。然而我们做一简单的计算就

会发现，由于这一方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计

算。

设计算k阶行列式所需要的乘法运算的次数为，则容易推出

，

于是，我们有

这样，利用Gram