高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.6幂函数(原卷版+解析).docxVIP

2.6幂函数

思维导图

知识点总结

知识点一幂函数的概念

一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

知识点二五个幂函数的图象与性质

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

值域

R

R

奇偶性

奇

单调性

增

在[0，＋∞)，

在(－∞，0]上

在(0，＋∞)上，

在(－∞，0)上

知识点三一般幂函数的图象特征

1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．

2．当α0时，幂函数的图象通过，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象；当0α1时，幂函数的图象．

3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．

4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

5．在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

典型例题分析

考向一幂函数的概念

例1(1)下列函数：

①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()

A．1B．2C．3D．4

(2)已知是幂函数，求m，n的值．

反思感悟判断函数为幂函数的方法

(1)自变量x前的系数为1.

(2)底数为自变量x.

(3)指数为常数．

考向二幂函数的图象及应用

例2(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．

反思感悟(1)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

考向三比较幂值的大小

例3比较下列各组数的大小．

(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；

(3)与.

反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

考向四幂函数性质的应用

例4已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足

的a的取值范围．

通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．

基础题型训练

一、单选题

1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（????）

A． B． C． D．

2．函数的单调减区间是（????）

A． B． C． D．和

3．已知幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（????）

A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2

4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

5．下列比较大小中正确的是（????）

A． B．

C． D．

6．“”是“函数在上单调递增”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题

7．关于幂函数是常数），结论正确的是（????）

A．幂函数的图象都经过原点

B．幂函数图象都经过点

C．幂函数图象有可能关于轴对称

D．幂函数图象不可能经过第四象限

8．已知函数的图象经过点，则（????）

A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称

C．在上单调递减 D．在内的值域为

三、填空题

9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．

10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.