新高考数学二轮复习培优专题31 圆锥曲线大题综合 （解析版）.docVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

专题31圆锥曲线大题综合

1．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知SKIPIF10为抛物线SKIPIF10的弦，点SKIPIF10在抛物线的准线SKIPIF10上.当SKIPIF10过抛物线焦点SKIPIF10且长度为SKIPIF10时，SKIPIF10中点SKIPIF10到SKIPIF10轴的距离为SKIPIF10.

(1)求抛物线SKIPIF10的方程；

(2)若SKIPIF10为直角，求证：直线SKIPIF10过定点.

【答案】(1)SKIPIF10

(2)证明见解析

【分析】（1）利用抛物线弦长公式，以及中点到SKIPIF10轴的距离公式，计算出SKIPIF10即可；

（2）先设SKIPIF10，直线SKIPIF10的方程：SKIPIF10，联立方程组，由韦达定理可得SKIPIF10，

又因为SKIPIF10为直角可得SKIPIF10，化简求解可得SKIPIF10，所以得出直线过定点SKIPIF10.

【详解】（1）设SKIPIF10，则由题意得SKIPIF10，

解得SKIPIF10，

所以抛物线的方程为SKIPIF10

（2）直线SKIPIF10过定点SKIPIF10，证明如下：

设SKIPIF10，直线SKIPIF10的方程：SKIPIF10，

将SKIPIF10代入SKIPIF10得SKIPIF10，

则SKIPIF10，得SKIPIF10，

由韦达定理可得SKIPIF10，

所以SKIPIF10，

因为SKIPIF10，所以SKIPIF10，即SKIPIF10，

即SKIPIF10，

即SKIPIF10，所以SKIPIF10，

所以直线SKIPIF10过定点SKIPIF10.

2．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线SKIPIF10的左顶点为SKIPIF10，过左焦点SKIPIF10的直线与SKIPIF10交于SKIPIF10两点.当SKIPIF10轴时，SKIPIF10，SKIPIF10的面积为3.

(1)求SKIPIF10的方程；

(2)证明：以SKIPIF10为直径的圆经过定点.

【答案】(1)SKIPIF10

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，可得SKIPIF10，SKIPIF10，进而求解；

（2）设SKIPIF10方程为SKIPIF10，SKIPIF10，联立直线和双曲线方程组，可得SKIPIF10，以SKIPIF10为直径的圆的方程为SKIPIF10，由对称性知以SKIPIF10为直径的圆必过SKIPIF10