高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)6.2等差数列(原卷版+解析).docxVIP

6.2等差数列

思维导图

知识点总结

1．等差数列的有关概念

定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，即an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)

通项公式

设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an＝

等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝

2．等差数列的前n项和公式

已知条件

前n项和公式

a1，an，n

a1，d，n

典型例题分析

考向一等差数列基本量的运算

1．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a6＝17，S5＝a2a3，则a12＝()

A．28 B．30

C．32 D．35

解析：选D设公差为d且d0，由a6＝17，S5＝a2a3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝17，,5a1＋10d＝?a1＋d??a1＋2d?，,d0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3，))故a12＝a1＋11d＝2＋33＝35.

2．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________.

解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.

答案：2

方法总结

解答等差数列运算问题的通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了解方程的思想．

考向二等差数列的判定或证明

[典例]在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.

(1)设cn＝eq\f(an,2n)，求证数列{cn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解](1)证明：在数列{an}中，?n∈N*，Sn＋1＝4an＋2，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，

两式相减得an＋1＝4an－4an－1，而cn＝eq\f(an,2n)，即an＝2ncn，则有2n＋1cn＋1＝4×2ncn－4×2n－1cn－1，

整理得cn＋1＝2cn－cn－1，即cn＋1＋cn－1＝2cn，

所以数列{cn}是等差数列．

(2)由Sn＋1＝4an＋2得a1＋a2＝4a1＋2，而a1＝1，则a2＝5，c1＝eq\f(a1,2)＝eq\f(1,2)，c2＝eq\f(a2,22)＝eq\f(5,4)，

因此，等差数列{cn}的公差d＝eq\f(5,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，即{cn}是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(3,4)为公差的等差数列，则cn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)(n－1)＝eq\f(3,4)n－eq\f(1,4)，即eq\f(an,2n)＝eq\f(3n－1,4)，于是得an＝(3n－1)·2n－2，

所以数列{an}的通项公式an＝(3n－1)·2n－2.

[方法技巧]等差数列的判定与证明方法

定义法

如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列

等差

中项法

如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an＋1＝an＋an＋2，那么可以判断{an}为等差数列

通项

公式法

如果一个数列{an}的通项公式满足an＝pn＋q(p，q为常数)的形式，那么可以提出{an}是首项为p＋q，公差为p的等差数列，适用选择、填空题

前n项和

公式法

如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A＋B，公差为2A的等差数列，适用选择、填空题

考向三等差数列的性质

角度1等差数列的性质

[例1](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于()

A．110B．150C．210 D．280

(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为________斤．

(3)已知数列{an}，{bn}都