人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第1章 集合与常用逻辑用语 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定.ppt

1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.含有量词的命题的否定一般地,对于含有一个量词的命题的否定,有下面的结论:全称量词命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x);?存在量词命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).?全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.2.命题的否定与原命题的真假一个命题的否定,仍是一个命题,它和原命题只能是一真一假.

课堂·重难突破

一全称量词命题的否定典例剖析1.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)等圆的面积相等;(3)每个三角形至少有两个锐角.

解:(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”.因为当Δ=12-4×1×(-m)=1+4m0,即时,一元二次方程x2+x-m=0没有实数根,所以原命题的否定是真命题.(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”,其否定形式是“存在一对等圆,其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题.(3)这一命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”,由三角形的内角和为180°,知原命题的否定为假命题.

规律总结1.对全称量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.即:全称量词(?)存在量词(?).

(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.

对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般先改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.

2.全称量词命题否定后的真假判断方法

全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题的真假性相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.

学以致用1.写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.(1)一切分数都是有理数;

解:(1)原命题的否定为“存在一个分数不是有理数”,这个命题是假命题.

二存在量词命题的否定典例剖析2.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)有一个奇数不能被3整除;(2)有些三角形的三个内角都是60°;(3)?x∈R,使得|x+1|≤1.

解:(1)原命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”.这个命题是假命题,如5是奇数,但5不能被3整除.(2)原命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”.这个命题是假命题,如等边三角形的三个内角都是60°.(3)原命题的否定为“?x∈R,有|x+1|1”.这个命题为假命题,如x=0时,不满足|x+1|1.

规律总结1.对存在量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.即:存在量词(?)全称量词(?).

(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.

2.存在量词命题否定后的真假判断方法

存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题的真假性相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.

学以致用2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.(1)?a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点;(2)?x∈R,使x2+2x+2≤0;(3)至少有一个实数x,使2x2+3=0.解:(1)原命题的否定为“?a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点”.这个命题是假命题.(2)原命题的否定为“?x∈R,x2+2x+20”.这个命题是真命题,因为当x∈R时,x2+2x+2=(x+1)2+10.(3)原命题的否定为“?x∈R,2x2+3≠0”.这个命题是真命题.

三全称量词命题与存在量词命题否定的应用典例剖析3.已知命题“?x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题,求实数a的取值范围.解:因为命题“?x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题,所以其否定“?x∈R,2x2+3x+a0”是真命题,等价于方程2x2+3x+a=0无实根,

互动探究1.(变条件)若将本例条件“假命题”改为“真命题”,其他条件不变,求实数a的取值范围.2.(变条件)若将本例条件改为:已知命题“?x∈R,2x2+3x+a≤0”的否定是假命题,求实数a的取值范围.

规律总结解决全称量词命题与存在量词命题否定的应用问题要注意等价命题的转化,当已知命题不好求解时,可转化为其命题的否定进行求解.

学以致用3.已知命题“?x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围.解:原命题为全称量词命题,因为其是假命题,所以其否定“?x∈R,使ax2+2x+1=0”为真命题,即关于x的方程ax2+2x+1=0