人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质.ppt

3.3.2抛物线的简单几何性质第三章3.3

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、抛物线的简单几何性质1.抛物线的几何性质

2.顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A.x2=16y B.x2=8yC.x2=±8y D.x2=±16y解析:顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x2=-2py,x2=2py(p0).由顶点到准线的距离为4知p=8,故所求抛物线方程为x2=16y,x2=-16y.答案:D

二、过焦点的弦长公式1.焦点弦2.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于()A.10 B.8 C.6 D.4解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8.答案:B

合作探究释疑解惑

探究一由抛物线的几何性质求其标准方程【例1】(1)已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,则抛物线的方程为.?(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2,则抛物线的方程为.?分析:(1)利用几何性质确定抛物线方程;(2)因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2,可知交点纵坐标为±.

故抛物线的对称轴为x轴.所以设抛物线的方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0).所以p=6.则抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x.(2)根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为±,交点横坐标为±1,设抛物线方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0),则2p=3,从而抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.答案:(1)y2=12x或y2=-12x(2)y2=3x或y2=-3x

反思感悟抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离,为.

【变式训练1】已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切,则p=()A.1 B.2 C.3 D.4故p=2.答案:B

探究二抛物线的几何性质的应用【例2】已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.分析:先由抛物线的对称性设出A,B两点的坐标,再利用垂直和点A,B在抛物线上求解.

∵抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,∴△ABO为等腰三角形.∴A,B两点关于x轴对称.设A(x0,y0),则B(x0,-y0),∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点,∴BF⊥OA.

本例题若把“垂心”改为“重心”,其他条件不变,AB的方程如何?解:因为抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,所以A,B两点关于x轴对称.反思感悟利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.

【变式训练2】已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.

探究三抛物线中过焦点的弦长问题【例3】如图,斜率为的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F(1,0),且与抛物线相交于A,B两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段AB的长.分析:(1)由抛物线的焦点坐标得p的值,求出抛物线方程及其准线方程.(2)由过焦点的直线方程与抛物线方程联立,利用焦点弦长公式可解.

反思感悟对于抛物线的焦点弦,应熟悉一些常见的结论,并可直接应用于选择题和填空题的解答,如设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2)(A,B点为直线与抛物线的交点),则有:(1)y1y2=-p2;

【变式训练3】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.解:如图,依题意可设抛物线方程为y2=2px(p0),即x1+x2+p=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

∴x1+x2=3p,将其代入①得p=2,∴所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p0)时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.故抛物线方程为y2=4x或y2=-4x.