线性代数304矩阵的秩.pptVIP

于是有:即下面证明A的任一列向量组与B中对应的一组列向量组有相同的线性相关性.若线性相关,注意到所以线性相关.为零的数,使则存在一组不全利用上述证明结果可得,当线性相关时,也线性相关.因而,当线性无关时,也线性无关.反之,由得?例设有n维向量组,则向量组线性相关.不妨设为行向量构造矩阵解得所以线性相关.又如,向量组与有相同的线性相关性．因为即所以与同时线性相关或线性无关.矩阵的行秩与列秩相等。事实上，上一章已证明，矩阵A经过一系列初等变换可以化为标准形．而D的行秩，列秩均为r定理3.11P118显然定义3.8矩阵A的行与列秩，统称为A的秩，记为R(A).二、矩阵的秩对A施行初等变换化A为标准形,标准形中非零元素的个数就是A的秩。三、求矩阵秩的方法?例解阶梯形矩阵特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．利用阶梯形矩阵求矩阵的秩定理3.12P121矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵B。证设若A为零矩阵,则结论成立.若A不是零矩阵,先看第一列元素,如果这一列元素全为零,则看第二列,……。若第一列元素不全为零,则可以通过初等行变换,使第一列第一个元素不为零,然后,依次用适当的数乘以第一行后加到其余各行,使得第一列除第一个元素之外都等于零.即有重复以上过程,经过一系列初等行变换,就可把A化为阶梯形矩阵.再对的右下角一块(矩阵)定理3.13P121阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数.证不妨设有r个非零行的阶梯形矩阵其中不为零,*表示某些数.所以R(B)=R(D)=r.用初等行变换把矩阵化为阶梯形?例求矩阵A的秩解利用矩阵求秩法求向量组的秩及讨论向量组的线性相关性?例解将向量列排构成行分块矩阵，再作行变换。**********************************************一、矩阵的行秩与列秩二、矩阵的秩三、求矩阵秩的方法四、小结、思考题《线性代数》矩阵与向量组一、矩阵的行秩与列秩定义3.7矩阵A的行（列）向量组的秩称为A的行（列）秩．列向量组线性无关线性相关问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩定理3.9P116对矩阵矩阵的行（列）秩不变．设A的行向量组为其中下面证明矩阵的初等行变换不改变其行秩.矩阵的初等行变换包括三种变换:证施以初等行（列）变换(１)互换矩阵两行的位置,如互换这时A的行向量组中仅仅互换位置,故(２)某行乘非零数k,如s行乘k行向量组由变换为显然变换为加到t行上去.此时,A的行向量组(３)某行的k倍加到另一行去,如s行的k倍定理3.10P117证先证初等行变换不改变矩阵的列秩.对矩阵施以初等行(列)变换,A的列(行)秩不变.对A施以一次初等行变换,得到矩阵B,相当于用某个初等矩阵P左乘A:B=PA,设**********************************************