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费马点最值问题

一．模型例题

1．问题的提出：

如果点是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点到的三顶点的距离之和的值为最小？

问题的转化：

把绕点逆时针旋转60度得到△，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：．

问题的解决：

当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点的位置．

问题的延伸：

如图2是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为2，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

2．如图，中，，点为内一点，．若，则的最小值为

A．2 B． C． D．3

3．如图，已知边长为的等边，平面内存在点，则的取值范围为．

4．问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值．

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．

问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至△，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知△为正三角形，有．

故．因此，当、、、共线时，有最小值是．

学以致用：（1）如图3，在中，，，，为内部一点，连接、、，则的最小值是．

（2）如图4，在中，，，为内部一点，连接、、，求的最小值．

（3）如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．

二．同步练习

5．法国数学家费马提出：在内存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时的值为费马距离．经研究发现：在锐角中，费马点满足，如图，点为锐角的费马点，且，，，则费马距离为．

6．在中，，点为内一点．

（1）如图1，连接，，将沿射线方向平移，得到，点，，的对应点分别为点，，，连接．如果，，，则．

（2）如图2，连接，，，当时，求的最小值．

7．如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为．

8．如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为．

9．如图，在中，，点为内一点，连接、、，当，时，则的最小值是．

10．已知，如图在中，，，，在内部有一点，连接、、，则的最小值是．

11．如图，在中，，，，点在内，连接、、，则的最小值是．

12．如图，中，，，，是内部的任意一点，连接，，，则的最小值为．

13．如图，为正方形内的动点，若，则的最小值为．

14．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为．

15．如图，点为等边三角形内一点，且，则的最小值为．

16．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为．

17．如图，在直角三角形内部有一动点，，连接，，，若，，求的最小值．

18．已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．

（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；

（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；

（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．