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章末质量检测(二)等式与不等式

(时间：120分钟满分：150分)

授课提示：对应章末质量检测卷5页

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|x2－3x－40}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝()

A．{－4，1}B．{1，5}

C．{3，5}D．{1，3}

解析：由x2－3x－40解得－1x4，所以A＝{x|－1x4}．因为B＝{－4，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．故选D.

答案：D

2．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(ab0)，他往返甲乙两地的平均速度为v，则()

A．v＝a+b2B．v＝

C．abva+b2D．bv

解析：设从甲地到乙地的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则

t1＝sa，t2＝sb，v＝2st1+

∴v＝21a+1b21b+1b＝b，v＝

答案：D

3．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020＋y2＝2y(x，y∈Z)，则该方程的整数解有()

A．1组B．2组C．3组D．4组

解析：设此方程的解为有序数对(x，y)．因为x2020＋y2＝2y(x，y∈Z)，所以x2020＋(y－1)2＝1，当x20201或(y－1)21时，等式不成立，所以|x|≤1，(y－1)2≤1，即－1≤x≤1，0≤y≤2(x，y∈Z)．当x＝－1时，(y－1)2＝0，即y＝1；当x＝0时，(y－1)2＝1，即y＝0或y＝2；当x＝1时，(y－1)2＝0，即y＝1.综上所述，共有四组解(－1，1)，(0，0)，(0，2)，(1，1)．故选D.

答案：D

4．不等式ax2－ax＋a＋10对?x∈R恒成立，则实数a的取值范围为()

A．(0，＋∞)

B．[0，＋∞)

C．-∞，-43∪(0

D．-∞，-43∪［

解析：①当a＝0时，10成立，

②当a≠0时，只需a0，Δ=a2-4aa+10，解得a0.综上可得a≥0，即实数a的取值范围为[

答案：B

5．若－1a3，2b4，则下列各式恒成立的是()

A．1a－2b＋14B．－4a－2b＋1－1

C．－9a－2b＋1－1D．－8a－2b＋10

解析：∵2b4，－1a3，∴－8－2b－4，－9a－2b－1，则－8a－2b＋10，故选D.

答案：D

6．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()

A．2km处B．3km处C．4km处D．5km处

解析：设仓库建在离车站xkm处，则土地费用y1＝k1x(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0

把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝45

∴总费用y＝20x+45x≥2

当且仅当20x＝45x，即x＝5时等号成立，

答案：D

7．设a，b为正实数且a＋b＝10ab，则a＋9b的最小值为()

A．65B．1310C．85

解析：因为a，b为正实数且a＋b＝10ab，

所以1101a

所以a＋9b＝110(a＋9b)1a+1b＝11010+9ba+

当且仅当9ba＝ab，即a2＝9b2，即a＝25，b＝215时等号成立．所以a＋9b的最小值为

答案：C

8．若不等式ax2＋2x＋c0的解集是-∞，-13∪12，+∞，则不等式cx2－2

A．-12，1

C．-2，3D

解析：因为不等式ax2＋2x＋c0的解集是(－∞，－13

∴－13和12是方程ax2＋2x＋c＝0

由-13+12=-2a，

故不等式cx2－2x＋a≤0即2x2－2x－12≤0，

即x2－x－6≤0，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤3，

所以所求不等式的解集是[－2，3].故选C.

答案：C

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分)

9．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中的真命题有()

A．若ab，则1a

B．若ab，则ac2bc2

C．若a·c2b·c2，则ab

D．若ab0，cd0，则acbd

解析：若a0b，则1a01b，∴

若c＝0，则ac2＝bc2，∴B选项错误；

当a·c2b·c2时，∵c20，∴C选