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第2课时补集及综合应用

新知初探·自主学习

教材要点

知识点补集

1．全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示．

2．补集

状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．

?UA的三层含义：

(1)?UA表示一个集合；

(2)A是U的子集，即A?U；

(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．

基础自测

1.设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x＜3}，则?UP＝()

A．{x|x＜－2或x≥3}

B．{x|x＜－2或x＞3}

C．{x|x≤－2或x＞3}

D．{x|x≤－2且x≥3}

2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝()

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}

3．已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(?UA)∩B＝________．

4．当U为全集时，下列说法正确的是________(填序号)．

①若A∩B＝?，则(?UA)∪(?UB)＝U；

②若A∩B＝?，则A＝?或B＝?；

③若A∪B＝U，则(?UA)∩(?UB)＝?；

④若A∪B＝?，则A＝B＝?.

课堂探究·素养提升

题型1补集的运算

例1(1)已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求?RA，?RB.

(2)[2024·广东省中山市周测]如图所示，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是()

A.[?U(A∩B)]∩C

B．[?U(B∩C)]∩A

C．A∩[?U(B∪C)]

D．[?U(A∪B)]∩C

方法归纳

求补集的原则和方法

(1)一个基本原则：

求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

(2)两种求解方法：

①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．

②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．

跟踪训练1(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则?UA＝()

A.?

B．{1，3}

C．{2，4，5}

D．{1，2，3，4，5}

利用补集定义直接求．

(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?RB)＝()

A.{x|0＜x≤1}

B．{x|0＜x＜1}

C．{x|1≤x＜2}

D．{x|0＜x＜2}

利用数轴表示集合A，B，结合数轴求出结果．

题型2集合交、并、补的综合运算[经典例题]

例2(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(?UB)＝()

A.{2，5}

B．{3，6}

C．{2，5，6}

D．{2，3，5，6，8}

先求?UB，再求A∩?UB.

(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥52}，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(

状元随笔根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．

(3)(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4x6}，集合B＝{x|2≤x5}，下列集合运算正确的是()

A．?UB＝(－∞，2)∪

B．A∩(?UB)＝[1，2)∪

C．(?UA)∩B＝(－∞，1)∪

D．?U(A∪B)＝(－∞，1)∪

方法归纳

求集合交、并、补运算的方法

跟踪训练2(1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}．求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.

状元随笔借助数轴求出?UA，?UB再运算．

(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数有()

A．10B．12C．6D．8

题型3补集思想的应用——正难则反[经典例题]

例3已知集合A＝{y|ya2＋1或ya}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩?B≠?，则实数a

状元随笔A∩B＝?，对于集合A而言，分A＝?与A≠?两种情况.A＝?显然不合题意，若A∩B≠?，情况很多种，而A∩B＝?

方法归纳

(1)运用补集思想求参数范围的方法：

①否定已知条件，考虑反面问题；

②求解反面问题对应的参数范围；

③将反面问题对应参数