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北京市东城区东直门中学2024年高三5月第四次模拟考试数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()
A.1 B.-1 C.8l D.-81
2.的展开式中的系数为()
A.5 B.10 C.20 D.30
3.若,则的虚部是()
A. B. C. D.
4.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()
A. B. C. D.
5.已知复数z满足i?z=2+i,则z的共轭复数是()
A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i
6.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
7.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()
A. B. C. D.0
8.设集合,,若,则()
A. B. C. D.
9.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()
A. B. C. D.
10.复数的共轭复数为()
A. B. C. D.
11.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()
A. B. C. D.
12.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()
A.3 B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)
14.已知函数,(其中e为自然对数的底数),若关于x的方程恰有5个相异的实根,则实数a的取值范围为________.
15.根据如图所示的伪代码,若输入的的值为2,则输出的的值为____________.
16.设全集,集合,,则集合______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.
18.(12分)如图,在三棱柱中,,,,为的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)求锐二面角的余弦值.
19.(12分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.
(1)求证:平面;
(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.
20.(12分)已知变换将平面上的点,分别变换为点,.设变换对应的矩阵为.
(1)求矩阵;
(2)求矩阵的特征值.
21.(12分)已知函数,
(1)若,求的单调区间和极值;
(2)设,且有两个极值点,,若,求的最小值.
22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.
【详解】
因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,
故可得,
令,故可得,
又因为,
令,则,
解得
令,则.
故选:B.
【点睛】
本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.
2、C
【解析】
由知,展开式中项有两项,一项是中的项,另一项是与中含x的项乘积构成.
【详解】
由已知,,因为展开式的通项为,所以
展开式中的系数为.
故选:C.
【点睛】
本题考查求二项式定理展开式中的特定项,解决这类问题要注意通项公式应写准确,本题是一道基础题.
3、D
【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为:的形式,即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知,
所以的虚部是1.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,属于基础题
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